Sejam u=(1,-2,4), v=(3,5,1) e w=(2,1,-3). Encontre
(a) 3 u-2 v;
(b) 5 u+3 v-4 w;
(c) u cdot v, u cdot w, v cdot w;
(d) |u|,|v|;
(e) theta, sendo theta o ângulo entre u e v; (f) d(u, v); (g) proj(u, v).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial juntos! O enunciado nos dá três vetores u = (1, -2, 4) , v = (3, 5, 1) e w = (2, 1, -3) . A gente vai precisar usar operações com vetores, produtos escalares, normas, ângulos entre vetores, distância entre vetores e projetar um vetor sobre outro. Vamos passo a passo resolver cada item do exercício.

Passo 2

(a) Calcular 3u - 2v

Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar um vetor por um escalar e depois subtrair outro vetor. Multiplicar um vetor por um número significa multiplicar cada componente do vetor por esse número.
Então, vamos calcular:
3u = 3 times (1, -2, 4) = (3 times 1, 3 times -2, 3 times 4) = (3, -6, 12)
2v = 2 times (3, 5, 1) = (2 times 3, 2 times 5, 2 times 1) = (6, 10, 2)
Agora, subtraímos 2v de 3u :
3u - 2v = (3, -6, 12) - (6, 10, 2) = (3 - 6, -6 - 10, 12 - 2) = (-3, -16, 10)

Passo 3

(b) Calcular 5u + 3v - 4w

Vamos multiplicar cada vetor pelos seus respectivos escalares:
5u = 5 times (1, -2, 4) = (5, -10, 20)
3v = 3 times (3, 5, 1) = (9, 15, 3)
4w = 4 times (2, 1, -3) = (8, 4, -12)
Agora, somamos 5u e 3v e depois subtraímos 4w :
5u + 3v = (5 + 9, -10 + 15, 20 + 3) = (14, 5, 23)
5u + 3v - 4w = (14 - 8, 5 - 4, 23 - (-12)) = (6, 1, 35)

Passo 4

(c) Calcular os produtos escalares u cdot v , u cdot w e v cdot w

O produto escalar entre dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Vamos calcular cada um:
u cdot v = (1)(3) + (-2)(5) + (4)(1) = 3 - 10 + 4 = -3
u cdot w = (1)(2) + (-2)(1) + (4)(-3) = 2 - 2 - 12 = -12
v cdot w = (3)(2) + (5)(1) + (1)(-3) = 6 + 5 - 3 = 8

Passo 5

(d) Calcular as normas |u| e |v|

A norma de um vetor a = (a1, a2, a3) é dada por:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Vamos calcular:
|u| = raiz1^2 + (-2)^2 + 4^2 = raiz1 + 4 + 16 = raiz21 approx 4,583
|v| = raiz3^2 + 5^2 + 1^2 = raiz9 + 25 + 1 = raiz35 approx 5,916

Passo 6

(e) Calcular o ângulo theta entre u e v

Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
u cdot v = |u| |v| cos(theta)
Isolando cos(theta) :
cos(theta) = u cdot v|u| |v|
Já calculamos u cdot v = -3 , |u| approx 4,583 e |v| approx 5,916 . Vamos substituir:
cos(theta) = -34,583 times 5,916 approx -327,11 approx -0,1107
Agora, para encontrar theta , usamos a função arco-cosseno:
theta = arccos(-0,1107) approx 96,34^circ

Passo 7

(f) Calcular a distância d(u, v)

A distância entre dois vetores u e v é dada pela norma da diferença entre eles:
d(u, v) = |u - v|
Primeiro, calculamos u - v :
u - v = (1 - 3, -2 - 5, 4 - 1) = (-2, -7, 3)
Agora, calculamos a norma:
|u - v| = raiz(-2)^2 + (-7)^2 + 3^2 = raiz4 + 49 + 9 = raiz62 approx 7,874

(g) Calcular a projeção de u sobre v , proj(u, v)

A projeção de u sobre v é dada por:
proj(u, v) = ( u cdot v|v|^2 ) v
Já sabemos que u cdot v = -3 e |v|^2 = 35 . Substituindo:
proj(u, v) = ( -335 ) (3, 5, 1) = ( -935, -1535, -335 ) = ( -935, -37, -335 )

Resposta

Resumindo as respostas:
a) 3u - 2v = (-3, -16, 10)
b) 5u + 3v - 4w = (6, 1, 35)
c) u cdot v = -3 , u cdot w = -12 , v cdot w = 8
d) |u| approx 4,583 , |v| approx 5,916
e) theta approx 96,34^circ
f) d(u, v) approx 7,874
g) proj(u, v) = ( -935, -37, -335 )

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