Sejam
e
. Encontre
(a)
;
(b)
;
(c)
;
(d)
;
(e)
, sendo
o ângulo entre
e
; (f)
; (g)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial juntos! O enunciado nos dá três vetores
,
e
. A gente vai precisar usar operações com vetores, produtos escalares, normas, ângulos entre vetores, distância entre vetores e projetar um vetor sobre outro. Vamos passo a passo resolver cada item do exercício.
Passo 2
(a) Calcular
Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar um vetor por um escalar e depois subtrair outro vetor. Multiplicar um vetor por um número significa multiplicar cada componente do vetor por esse número.
Então, vamos calcular:
Agora, subtraímos
de
:
Passo 3
(b) Calcular
Vamos multiplicar cada vetor pelos seus respectivos escalares:
Agora, somamos
e
e depois subtraímos
:
Passo 4
(c) Calcular os produtos escalares
,
e
O produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
Vamos calcular cada um:
Passo 5
(d) Calcular as normas
e
A norma de um vetor
é dada por:
Vamos calcular:
Passo 6
(e) Calcular o ângulo
entre
e
Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
Isolando
:
Já calculamos
,
e
. Vamos substituir:
Agora, para encontrar
, usamos a função arco-cosseno:
Passo 7
(f) Calcular a distância
A distância entre dois vetores
e
é dada pela norma da diferença entre eles:
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos a norma:
(g) Calcular a projeção de
sobre
,
A projeção de
sobre
é dada por:
Já sabemos que
e
. Substituindo:
Resposta
Resumindo as respostas:
a)
b)
c)
,
,
d)
,
e)
f)
g)