Sejam
um espaço vetorial sobre o corpo
e
um conjunto finito de elementos de
, isto é,
. O subconjunto
construído a partir dos elementos de
da seguinte forma:
é um subespaço vetorial de
, que vamos denotar por
. Dizemos que um espaço vetorial
é finitamente gerado se existe um subconjunto finito
de maneira que
.
Seja
, determine o subespaço gerado por
, onde
e
.
Seja
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o subespaço
gerado pelos vetores
,
e
.
O conteúdo aqui é combinação linear em : mostrar que todo vetor de
é combinação de
, o que implica
.
gerado pelos vetores
O conteúdo aqui é combinação linear em
Passo 2
Seja um vetor arbitrário
.
Queremos encontrar escalares tais que
Queremos encontrar escalares
Passo 3
Escrevendo coordenada a coordenada, isso dá o sistema
Passo 4
Da terceira equação vem
.
Substituindo na segunda:
Substituindo na segunda:
E na primeira:
Portanto para todo
existem
,
,
que geram esse vetor.