Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo K e S um conjunto finito de elementos de V, isto é, S= v1, cdots, vn. O subconjunto U construído a partir dos elementos de S da seguinte forma:
U=u in V tal que u=sumi=1^n alphai vi ; alphai in K
é um subespaço vetorial de V, que vamos denotar por U=lang<= Srang<=. Dizemos que um espaço vetorial V é finitamente gerado se existe um subconjunto finito S subset V de maneira que V=lang<= Srang<=.
Seja V=R^3, determine o subespaço gerado por v1, v2, v3, onde v1=(1,1,1), v2=(1,1,0) e v3= (1,0,0).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o subespaço
U=lang<= Srang<=subsetR^3
gerado pelos vetores
v1=(1,1,1),
v2=(1,1,0) e
v3=(1,0,0).
O conteúdo aqui é combinação linear em R^3: mostrar que todo vetor de R^3 é combinação de v1,v2,v3, o que implica U=R^3.

Passo 2

Seja um vetor arbitrário
(x,y,z)inR^3.
Queremos encontrar escalares alpha,beta,gammainR tais que
alpha v1+beta v2+gamma v3 =(x,y,z)

Passo 3

Escrevendo coordenada a coordenada, isso dá o sistema
alpha+beta+gamma = x, alpha+beta = y, alpha = z

Passo 4

Da terceira equação vem alpha = z.
Substituindo na segunda:
z + beta = y Longrightarrow beta = y - z
E na primeira:
z + (y - z) + gamma = x Longrightarrow gamma = x - y
Portanto para todo (x,y,z) existem alpha=z, beta=y-z, gamma=x-y que geram esse vetor.

Resposta

U=R^3.

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