Verifique se a seguinte aplicação é uma transformação linear:
Passo 1
Vamos analisar o exercício que pede para verificar se a aplicação
é uma transformação linear. Para isso, precisamos entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Uma transformação linear é uma função entre espaços vetoriais que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar. Ou seja, para a transformação
ser linear, ela deve satisfazer as seguintes duas propriedades para todos os vetores
e para todo escalar
:
- Preservação da adição:
- Preservação da multiplicação por escalar:
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade:
Seja
e
. Então:
Por outro lado:
Observamos que
não é igual a
em geral, e o mesmo vale para
versus
.
Passo 4
Como a primeira propriedade já não foi satisfeita, não é necessário verificar a segunda propriedade. Portanto, a aplicação
não é uma transformação linear.
Resposta
A aplicação
não é uma transformação linear.