Verifique se a seguinte aplicação é uma transformação linear:
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x, 2^y, 2^z)

Passo 1

Vamos analisar o exercício que pede para verificar se a aplicação T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x, 2^y, 2^z) é uma transformação linear. Para isso, precisamos entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Uma transformação linear é uma função entre espaços vetoriais que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar. Ou seja, para a transformação T ser linear, ela deve satisfazer as seguintes duas propriedades para todos os vetores u, v in R^3 e para todo escalar c :
  1. Preservação da adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Preservação da multiplicação por escalar: T(cu) = cT(u)

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade:
Seja u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) . Então:
T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (x1 + x2, 2^y1 + y2, 2^z1 + z2)
Por outro lado:
T(u) + T(v) = (x1, 2^y1, 2^z1) + (x2, 2^y2, 2^z2) = (x1 + x2, 2^y1 + 2^y2, 2^z1 + 2^z2)
Observamos que 2^y1 + y2 não é igual a 2^y1 + 2^y2 em geral, e o mesmo vale para 2^z1 + z2 versus 2^z1 + 2^z2 .

Passo 4

Como a primeira propriedade já não foi satisfeita, não é necessário verificar a segunda propriedade. Portanto, a aplicação T não é uma transformação linear.

Resposta

A aplicação T não é uma transformação linear.

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