Sejam e
Explique qual é a posição relativa entre as retas r e s?
Passo 1
O enunciado nos dá duas retas em em forma paramétrica:
e pede a posição relativa entre e . Para isso, vamos extrair os vetores diretores, verificar se são paralelos e, em caso negativo, checar se as retas se interceptam.
Passo 2
Extraímos os vetores diretores das retas:
Sejam esses vetores proporcionais, as retas seriam paralelas; caso contrário, podem ser secantes (intersectantes) ou reversas (skew).
Passo 3
Verificamos se e são proporcionais, calculando o produto vetorial:
Como vec vr times vec vs neq (0,0,0), os vetores não são paralelos. Logo, as retas não são paralelas.
Passo 4
Como não são paralelas, podemos ter duas situações: secantes (intersectam) ou reversas (não se interceptam). Para investigar interseção, igualamos pontos genéricos de r e s:
(1,2,3)+t,(0,1,3) ;=;(0,1,2)+h,(1,1,1)
Isso gera o sistema
1 = 0 + h, 2 + t = 1 + h, 3 + 3t = 2 + h
Passo 5
Resolvendo o sistema:
da primeira equação vem h=1.
Substituindo na segunda:
2 + t = 1 + 1 ;Longrightarrow; t = 0
Na terceira:
3 + 3cdot0 = 2 + 1 ;Longrightarrow; 3 = 3,
que é verdade. Então existe solução única (t,h)=(0,1), e o ponto de interseção é
(1,2,3)+0,(0,1,3) = (1,2,3)
Resposta
As retas r e s não são paralelas e têm interseção em (1,2,3). Portanto, são retas secantes.