Sejam
e
funções.
Verdadeiro ou falso: se
é injetora, então toda restrição de
é injetora.
Verdadeiro ou falso: se
Passo 1
O enunciado pergunta: “Seja
injetora. Verdadeiro ou falso que qualquer restrição de
também é injetora?”
Conteúdo: funções, injetividade e restrição de domínio.
O que vamos precisar:
Conteúdo: funções, injetividade e restrição de domínio.
O que vamos precisar:
- Definição de função injetora.
- Entender o que é “restrição” de uma função.
Passo 2
Antes de provar, bora relembrar as definições:
-
é injetora se, para todo ,
Isso significa que não há dois pontos diferentes em
que vão pro mesmo valor em
.
- Se
, a restrição de a é a função
Ou seja, a gente pega só parte do domínio original e olha como
age ali.
Passo 3
Agora, a prova de que toda restrição de
é injetora:
- Pegue qualquer subconjunto
. - Considere
tais que - Por definição de restrição, isso significa
- Mas
é injetora, então dessa igualdade sai que - Isso mostra exatamente que
satisfaz a condição de injetividade.
Como o raciocínio vale para qualquer
, concluímos que toda restrição de
é injetora.
Resposta
Verdadeiro.