Sejam f: A B e g: B C funções.
Verdadeiro ou falso: se f é injetora, então toda restrição de f é injetora.

Passo 1

O enunciado pergunta: “Seja injetora. Verdadeiro ou falso que qualquer restrição de também é injetora?”
Conteúdo: funções, injetividade e restrição de domínio.
O que vamos precisar:
  • Definição de função injetora.
  • Entender o que é “restrição” de uma função.

Passo 2

Antes de provar, bora relembrar as definições:
  1. f(x1)=f(x2)Longrightarrow x1=x2 é injetora se, para todo f|Xcolon Xto B, f|X(x)=f(x) ,
Isso significa que não há dois pontos diferentes em que vão pro mesmo valor em .
  1. Se , a restrição de a é a função
Ou seja, a gente pega só parte do domínio original e olha como age ali.

Passo 3

Agora, a prova de que toda restrição de f|X(x1)=f|X(x2) é injetora:
  • Pegue qualquer subconjunto f(x1)=f(x2) .
  • Considere x1 = x2 tais que
  • Por definição de restrição, isso significa
  • Mas é injetora, então dessa igualdade sai que
  • Isso mostra exatamente que satisfaz a condição de injetividade.
Como o raciocínio vale para qualquer , concluímos que toda restrição de é injetora.

Resposta

Verdadeiro.

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