Sejam f: A B e g: B C funções.
Verdadeiro ou falso: se f é bijetora, então toda restrição de f é bijetora.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede. Temos duas funções
e . A pergunta é: “Se é bijetora, será que qualquer restrição de também é bijetora?”
Aqui o conteúdo é teoria de funções — mais precisamente definição de injetora, sobrejetora, bijetora e o que significa restringir uma função. Vamos precisar:
  1. Definição de injeção e sobrejeção.
  2. Definição de bijeção (que é injetora + sobrejetora).
  3. O que é a restrição de uma função.

Passo 2

Primeiro, o que é bijetora?
  • Injetora: cada elemento do domínio vai para um elemento diferente no contradomínio. Em símbolos: f(x1)=f(x2)implies x1=x2
  • Sobrejetora: todo elemento do contradomínio é imagem de algo no domínio, ou seja, forall yin B, exists xin A tal que f(x)=y
Se satisfaz as duas, chamamos de bijetora.

Passo 3

Agora, o que é restrição de f|D: D longrightarrow B, f|D(x)=f(x) ?
Se , a restrição de a é a função
Ou seja, a gente pega só um “subconjunto do domínio” mas o contradomínio continua sendo todo .

Passo 4

Vamos ver injetividade da restrição. Como f|D(x1)=f|D(x2) implies f(x1)=f(x2) implies x1=x2 é injetora em , se em tivermos
Portanto, também é injetora.

Passo 5

E a sobrejetividade? Para ser sobrejetora, cada precisa ter um com . Mas como é só um pedaço de , talvez existam cuja única “‘pré-imagem” em esteja fora de . Assim, não sobra para cobrir todo . Logo, a restrição pode falhar em ser sobrejetora.

Passo 6

Exemplo rápido:
Toma f|D:1toa,b, f|D(1)=a , e .
Então é bijetora.
Restrinje em . Aí
Isso é injetor, mas não atinge . Falha a sobrejeção.

Resposta

A afirmação é falsa.

Exercícios relacionados