Sejam
e
funções.
Verdadeiro ou falso: se
é bijetora, então toda restrição de
é bijetora.
Verdadeiro ou falso: se
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede. Temos duas funções
e
. A pergunta é: “Se
é bijetora, será que qualquer restrição de
também é bijetora?”
Aqui o conteúdo é teoria de funções — mais precisamente definição de injetora, sobrejetora, bijetora e o que significa restringir uma função. Vamos precisar:
Aqui o conteúdo é teoria de funções — mais precisamente definição de injetora, sobrejetora, bijetora e o que significa restringir uma função. Vamos precisar:
- Definição de injeção e sobrejeção.
- Definição de bijeção (que é injetora + sobrejetora).
- O que é a restrição de uma função.
Passo 2
Primeiro, o que é bijetora?
- Injetora: cada elemento do domínio vai para um elemento diferente no contradomínio. Em símbolos:
- Sobrejetora: todo elemento do contradomínio é imagem de algo no domínio, ou seja,
Se
satisfaz as duas, chamamos de bijetora.
Passo 3
Agora, o que é restrição de
?
Se , a restrição de
a
é a função
Se
Ou seja, a gente pega só um “subconjunto do domínio” mas o contradomínio continua sendo todo
.
Passo 4
Vamos ver injetividade da restrição. Como
é injetora em
, se em
tivermos
Portanto,
também é injetora.
Passo 5
E a sobrejetividade? Para ser sobrejetora, cada
precisa ter um
com
. Mas como
é só um pedaço de
, talvez existam
cuja única “‘pré-imagem” em
esteja fora de
. Assim, não sobra
para cobrir todo
. Logo, a restrição pode falhar em ser sobrejetora.
Passo 6
Exemplo rápido:
Toma ,
e
.
Então é bijetora.
Restrinje em . Aí
Toma
Então
Restrinje em
Isso é injetor, mas não atinge
. Falha a sobrejeção.
Resposta
A afirmação é falsa.