Sejam f a distância focal, r o raio de curvatura e m a ampliação lateral, preencha as informações da Tabela 2 abaixo para imagens produzidas por lentes delgadas simétricas (com os dois lados convexos ou os dois lados côncavos). Na coluna “Posição da Imagem”, indique se a imagem está do mesmo lado do espelho que o objeto ou do lado oposto. Na coluna “Tipo de Imagem”, indique se a imagem é real ou virtual. Na coluna “Orientação da Imagem”, indique se a imagem tem a mesma orientação que o objeto ou a orientação oposta. Nas colunas "Sinal de f, de r e de m " indique se o sinal da grandeza mencionada é positivo ou negativo. As abreviações
M.P.Q.F e M.L.Q.F significam "mais perto do espelho do que F " e "mais longe do espelho que F ", respectivamente.
Table 1: Tabela 2. Tabela das Imagens Produzidas por Lentes
\captionsetup{labelformat=empty}
Tipo de lente Posição do Objeto Imagem Sinal
Posição Tipo Orientação de f de r de m
Convergente M.P.Q.F M.L.Q.F
Divergente M.P.Q.F M.L.Q.F

Passo 1

O enunciado pede que eu complete a Tabela 2 para lentes delgadas simétricas (ambos os lados convexos ou ambos os lados côncavos).\n
As colunas a preencher são: Posição da Imagem (mesmo lado do objeto ou lado oposto), Tipo de Imagem (real ou virtual), Orientação da Imagem (mesma orientação do objeto ou orientação oposta) e o sinal de f, de r e de m.\n
As posições do objeto a considerar já vêm dadas na tabela como: “M.P.Q.F” (mais perto do que F) e “M.L.Q.F” (mais longe do que F).\n
Informações fornecidas no enunciado que vou usar: as grandezas f (distância focal), r (raio de curvatura) e m (ampliação lateral). Não há valores numéricos, apenas os casos “mais perto de F” e “mais longe de F” para lentes convergentes e divergentes.

Passo 2

Vamos introduzir as fórmulas e convenções que resolvem o problema (aquelas que você precisa saber na prova):\n
A equação da lente delgada é
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i},
onde \,d_o é a distância do objeto até a lente e \,d_i é a distância da imagem até a lente.\n
Significado das variáveis e convenções de sinal que vamos usar (convenção usual para lentes delgadas):\n
  • \,d_o é positivo quando o objeto está à esquerda da lente (posição usual do objeto).\n
  • \,d_i é positivo quando a imagem está do lado direito da lente (lado oposto ao objeto) — ou seja, imagem real fica do lado oposto; \,d_i é negativo quando a imagem está do mesmo lado do objeto (imagem virtual).\n
  • \,f é positivo para lentes convergentes e negativo para lentes divergentes.\n
    A ampliação lateral é dada por
m=-\frac{d_i}{d_o}.
Interpretações importantes: se m>0 a imagem está na mesma orientação do objeto (upright); se m<0 a imagem está invertida (orientação oposta). Se d_i>0 a imagem é real; se d_i<0 é virtual.

Passo 3

É útil isolar d_i para ver o sinal diretamente. A partir de \frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i} obtemos
\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_o}=\frac{d_o-f}{f d_o},
portanto
d_i=\frac{f d_o}{d_o-f}.
Essa forma mostra claramente como o sinal de d_i depende dos sinais de f e da relação entre d_o e f.

Passo 4

Analisando lente convergente ( f>0).\n
Caso 1: objeto mais perto do que F (ou seja, d_o<f).\n
Usando d_i=\dfrac{f d_o}{d_o-f}: como d_o-f<0 (porque d_o<f), o denominador é negativo enquanto f d_o>0, logo d_i<0.\n
Conclusões a partir de d_i<0: a imagem está no mesmo lado do objeto (mesmo lado da lente), é virtual (pois d_i<0), e a ampliação m=-\dfrac{d_i}{d_o} será positiva (porque d_i<0 torna -d_i>0), portanto a imagem está na mesma orientação do objeto (upright).\n
Para fixar a intuição eu mostro um exemplo numérico rápido (você pode fazer na prova com números simples): tome f=10 e d_o=5 (mais perto que F).\n
Calcule:
d_i=\frac{(10)(5)}{5-10}=\frac{50}{-5}=-10,
logo m=-\dfrac{d_i}{d_o}=-\dfrac{-10}{5}=2>0. Isso confirma: imagem virtual, mesmo lado, mesma orientação, ampliação positiva (a imagem é maior).

Passo 5

Ainda para lente convergente ( f>0).\n
Caso 2: objeto mais longe do que F (ou seja, d_o>f).\n
Novamente pela fórmula d_i=\dfrac{f d_o}{d_o-f}: agora d_o-f>0, então d_i>0.\n
Conclusões a partir de d_i>0: a imagem fica do lado oposto ao objeto (lado direito, supondo objeto à esquerda), é real, e a ampliação m=-\dfrac{d_i}{d_o} será negativa (porque d_i>0 m<0), portanto a imagem está invertida (orientação oposta).\n
Exemplo numérico: f=10, d_o=20
d_i=\frac{(10)(20)}{20-10}=\frac{200}{10}=20,
e
m=-\frac{20}{20}=-1<0,
que mostra imagem real, do lado oposto, invertida.

Passo 6

Agora a lente divergente ( f<0).\n
Para qualquer objeto real colocado à esquerda com d_o>0, usamos d_i=\dfrac{f d_o}{d_o-f}. Como f<0 temos f d_o<0. Além disso d_o-f>0 (porque subtrair um número negativo aumenta), então o quociente d_i é negativo. Logo d_i<0 para qualquer d_o>0.\n
Conclusões: para lente divergente a imagem está sempre do mesmo lado do objeto (pois d_i<0), é sempre virtual, e a ampliação m=-\dfrac{d_i}{d_o} é positiva (pois d_i<0 torna -d_i>0), portanto a imagem tem a mesma orientação do objeto (upright). Em geral a magnitude de m é menor que 1 (imagem reduzida) quando o objeto está a distâncias típicas.\n
Exemplo numérico: tome f=-10 e d_o=15. Então
d_i=\frac{(-10)(15)}{15-(-10)}=\frac{-150}{25}=-6,
e
m=-\frac{d_i}{d_o}=-\frac{-6}{15}=0,4>0,
confirmando imagem virtual, mesmo lado, mesma orientação, m>0.

Passo 7

Relação entre o sinal de r e o sinal de f para lentes simétricas (o que o enunciado pede sobre o sinal de r).\n
A equação do fabricante (fórmula das lentes, ou fórmula do criador de lentes) é
\frac{1}{f}=(n-1)\Big(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\Big),
onde n é o índice de refração do material da lente e r_1,r_2 são os raios de curvatura das superfícies (com o sinal usual de superfície). Para uma lente simétrica biconvexa podemos tomar r_1=r e r_2=-r (as curvaturas têm sinais opostos na convenção usual), então
\frac{1}{f}=(n-1)\Big(\frac{1}{r}-\frac{1}{-r}\Big)=(n-1)\frac{2}{r}.
Dessa expressão segue
f=\frac{r}{2(n-1)}.
Como normalmente n>1, o fator 2(n-1) é positivo, logo o sinal de f é o mesmo que o sinal de r para lentes simétricas. Assim:\n
  • Se a lente é convergente ( f>0), então r>0.\n
  • Se a lente é divergente ( f<0), então r<0.\n
    Isso resolve o que colocar na coluna “Sinal de r”.

Passo 8

Resumo lógico que vou colocar na tabela (baseado nas conclusões dos passos anteriores): para cada caso uso as conclusões das fórmulas e dos exemplos para determinar posição (mesmo lado ou lado oposto), tipo (virtual/real), orientação (mesma/oposta) e sinais de f, r e m.\n
Agora apresento somente as entradas finais pedidas (sem justificativas adicionais), no formato que você pediu.

Resposta

Convergente (M.P.Q.F): Posição da Imagem = mesmo lado do objeto; Tipo = virtual; Orientação = mesma; Sinal de f = positivo; Sinal de r = positivo; Sinal de m = positivo\n
Convergente (M.L.Q.F): Posição da Imagem = lado oposto ao objeto; Tipo = real; Orientação = oposta; Sinal de f = positivo; Sinal de r = positivo; Sinal de m = negativo\n
Divergente (M.P.Q.F): Posição da Imagem = mesmo lado do objeto; Tipo = virtual; Orientação = mesma; Sinal de f = negativo; Sinal de r = negativo; Sinal de m = positivo\n
Divergente (M.L.Q.F): Posição da Imagem = mesmo lado do objeto; Tipo = virtual; Orientação = mesma; Sinal de f = negativo; Sinal de r = negativo; Sinal de m = positivo

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