Sejam f e g campos escalares e \vec{F} e \vec{G} campos vetoriais. Determine quais das expressões a seguir representam campos vetoriais, quais representam campos escalares e quais não tem sentido.
(\nabla f) \times(\nabla \times \vec{F})

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a expressão
(\nabla f)\times(\nabla\times \vec F)
como campo escalar, campo vetorial ou sem sentido. Sabemos que f é um campo escalar e \vec F é um campo vetorial, e vamos usar as propriedades de operador nabla ( \nabla).

Passo 2

O operador gradiente em um escalar f gera um vetor. Logo
\nabla f
é um campo vetorial. Por outro lado, o operador rotacional (curl) em um vetor \vec F também gera um vetor. Logo
\nabla\times \vec F
é um campo vetorial.

Passo 3

Como ambos \nabla f e \nabla\times\vec F são vetores, podemos aplicar o produto vetorial entre eles, isto é,
(\nabla f)\times(\nabla\times \vec F)
é bem definido e resulta em um vetor em cada ponto do domínio.

Resposta

Campo vetorial.

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