Sejam
e
contínuas em
e assuma que
para
. Mostre que se
, então
e consequentemente
diverge.
Passo 1
O enunciado afirma que temos duas funções contínuas em [a,∞), f e g, verificando 0 ≤ g(x) ≤ f(x) para todo x ≥ a, e que a integral imprópria de g diverge, isto é,
. Precisamos mostrar que então também
. Vamos usar o teste de comparação para integrais impróprias.
Passo 2
Para trabalhar com integrais impróprias, lembramos a definição: se h é contínua em [a,∞), então
Passo 3
Como 0 ≤ g(x) ≤ f(x) em [a,∞), para qualquer b > a vale
Passo 4
Pela hipótese,
. Então, pela desigualdade anterior, o limite
não pode ser finito (pois se fosse, tornaria a integral de g também finita, contradizendo a hipótese). Logo,
o que prova que
diverge para +∞.