Sejam f e g contínuas em [a, infty) e assuma que 0 <= g(x) <= f(x) para x >= a. Mostre que se integrala^infty g(x) d x=infty, então integrala^infty f(x) d x=infty e consequentemente integrala^infty f(x) d x diverge.

Passo 1

O enunciado afirma que temos duas funções contínuas em [a,∞), f e g, verificando 0 ≤ g(x) ≤ f(x) para todo x ≥ a, e que a integral imprópria de g diverge, isto é, integrala^infty g(x),dx = infty. Precisamos mostrar que então também integrala^infty f(x),dx = infty. Vamos usar o teste de comparação para integrais impróprias.

Passo 2

Para trabalhar com integrais impróprias, lembramos a definição: se h é contínua em [a,∞), então
integrala^infty h(x),dx = limb to infty integrala^b h(x),dx

Passo 3

Como 0 ≤ g(x) ≤ f(x) em [a,∞), para qualquer b > a vale
integrala^b g(x),dx <= integrala^b f(x),dx

Passo 4

Pela hipótese, limbtoinfty integrala^b g(x),dx = infty. Então, pela desigualdade anterior, o limite
limbtoinfty integrala^b f(x),dx
não pode ser finito (pois se fosse, tornaria a integral de g também finita, contradizendo a hipótese). Logo,
limbtoinfty integrala^b f(x),dx = infty,
o que prova que integrala^infty f(x),dx diverge para +∞.

Resposta

integrala^infty f(x),dx = infty, ou seja, a integral diverge.

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