Use resultados conhecidos para expandir a função dada em uma série de Maclaurin. Dê o raio de convergência R de cada série.
f(z)=cos ^2 z [Sugestão: use uma identidade trigonométrica.]

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função f(z)=cos^2(z) em série de Maclaurin e indicar o raio de convergência. O conteúdo envolve séries de Taylor/Maclaurin para funções trigonométricas e o uso de identidades trigonométricas.

Passo 2

A gente usa a identidade cos^2(z)=tfrac1+cos(2z)2. Assim fica só expandir cos(2z) em série.

Passo 3

A série de Maclaurin de cos(w) é
cos(w)=sumn=0^infty(-1)^nw^2n(2n)!
Substituindo w=2z vem
cos(2z)=sumn=0^infty(-1)^n(2z)^2n(2n)!

Passo 4

Agora em cos^2(z)=tfrac12+tfrac12cos(2z), separamos o termo n=0 e obtemos
cos^2(z)=tfrac12+sumn=1^infty(-1)^n2^2n-1(2n)!,z^2n
Os primeiros termos ficam
cos^2(z)=tfrac12 - z^2 + tfracz^43 - tfrac2z^645 + cdots

Passo 5

Como cos(2z) é uma função inteira, sua série de Maclaurin converge para todo z. Portanto, o raio de convergência é infinito.

Resposta

Série de Maclaurin:
cos^2(z)=tfrac12+sumn=1^infty(-1)^n2^2n-1(2n)!z^2n=tfrac12 - z^2 + tfracz^43 - tfrac2z^645 + cdots,
raio de convergência: R=infty.

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