Use resultados conhecidos para expandir a função dada em uma série de Maclaurin. Dê o raio de convergência
de cada série.
[Sugestão: use uma identidade trigonométrica.]
Passo 1
O enunciado pede para expandir a função
em série de Maclaurin e indicar o raio de convergência. O conteúdo envolve séries de Taylor/Maclaurin para funções trigonométricas e o uso de identidades trigonométricas.
Passo 2
A gente usa a identidade
. Assim fica só expandir
em série.
Passo 3
A série de Maclaurin de
é
Substituindo
vem
Passo 4
Agora em
, separamos o termo
e obtemos
Os primeiros termos ficam
Passo 5
Como
é uma função inteira, sua série de Maclaurin converge para todo
. Portanto, o raio de convergência é infinito.
Resposta
Série de Maclaurin:
raio de convergência:
.