Verifique que y1 é solução da equação dada e determine, a partir de y1, outra solução y2 da equação, de forma que o conjunto y^prime prime-xx-1 y^prime+1x-1 y=0, y1=x seja linearmente independente.

Passo 1

O enunciado pede para a gente verificar que y1(x)=x satisfaz a equação
y''-xx-1y'+1x-1y=0
e, a partir dessa solução conhecida, usar o método de redução de ordem para achar outra solução y2(x) de modo que y1,y2 seja linearmente independente.

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0. Aqui
P(x)=-xx-1, Q(x)=1x-1
A teoria de redução de ordem diz que, se y1 é solução, então
y2 = y1(x)integral e^-integral P(x),dx[y1(x)]^2,dx

Passo 3

Calculamos primeiro
integral P(x),dx = integral -xx-1,dx
Fazendo a divisão -x/(x-1)=-1-1/(x-1),
integral P(x),dx = integral(-1-tfrac1x-1),dx = -x - ln|x-1| + C
(o +C não altera a redução de ordem). Logo
e^-integral P(x)dx=e^x+ln|x-1|=e^x(x-1)

Passo 4

Agora montamos o integrando:
e^-integral P dxy1^2 = e^x(x-1)x^2=e^xl(1x-1x^2r)
Precisamos de
I=integral e^xl(1x-1x^2r)dx
Separando e usando integração por partes (ou reconhecendo a derivada de e^x/x) obtém-se
I = e^xx + C

Passo 5

Finalmente
y2(x)=y1(x),I = xcdote^xx = e^x
Para ver que x,e^x é LI basta notar que o Wronskiano
W(x)=detx&e^x1&e^x=x e^x-e^x= (x-1)e^xneq0 em domínios onde xneq1.

Resposta

y_2(x)=e^x

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