Verifique que
é solução da equação dada e determine, a partir de
, outra solução
da equação, de forma que o conjunto
seja linearmente independente.
Passo 1
O enunciado pede para a gente verificar que
satisfaz a equação
e, a partir dessa solução conhecida, usar o método de redução de ordem para achar outra solução
de modo que
seja linearmente independente.
Passo 2
Primeiro colocamos a EDO na forma padrão
. Aqui
A teoria de redução de ordem diz que, se
é solução, então
Passo 3
Calculamos primeiro
Fazendo a divisão
,
(o
não altera a redução de ordem). Logo
Passo 4
Agora montamos o integrando:
Precisamos de
Separando e usando integração por partes (ou reconhecendo a derivada de
) obtém-se
Passo 5
Finalmente
Para ver que
é LI basta notar que o Wronskiano
em domínios onde
.
Resposta
y_2(x)=e^x