Sejam f, g: D subset R R, x0 in D^prime. Em cada um dos itens a seguir, considere a função h: D subset R R definida da forma indicada. Discuta o que se pode afirmar sobre h, com base nas hipóteses dadas sobre f e g.
lim x x0 f(x)=lim x x0 g(x)=+infty, h(x)=f(x)+g(x)

Passo 1

O enunciado diz que temos funções f,g:DsubsetRtoR e um ponto x0in D' tais que
limxto x0f(x)=+infty, limxto x0g(x)=+infty,
e define-se h(x)=f(x)+g(x). O conteúdo aqui é manipular limites que divergem para +infty e mostrar que a soma também diverge.

Passo 2

Relembremos a definição de limite infinito:
limxto x0f(x)=+infty significa que, para todo M>0, existe de<a1>0 tal que
0<|x-x0|<de<a1Longrightarrow f(x)>M
De modo análogo, como limxto x0g(x)=+infty, para todo M>0 existe de<a2>0 tal que
0<|x-x0|<de<a2Longrightarrow g(x)>M

Passo 3

Para mostrar que h(x)to+infty, tome um valor arbitrário M>0. Vamos aplicar a definição de limite infinito a f e a g com a “meta” M/2:
– Como limxto x0f(x)=+infty, existe de<a1>0 tal que
0<|x-x0|<de<a1Longrightarrow f(x)>tfracM2
– Como limxto x0g(x)=+infty, existe de<a2>0 tal que
0<|x-x0|<de<a2Longrightarrow g(x)>tfracM2
Defina de<a=min(de<a1,de<a2).

Passo 4

Se 0<|x-x0|<de<a, então simultaneamente f(x)>tfracM2 e g(x)>tfracM2. Daí
h(x)=f(x)+g(x)>tfracM2+tfracM2=M
Isso mostra que para qualquer M>0 existe de<a>0 tal que h(x)>M sempre que 0<|x-x0|<de<a.

Resposta

limxto x0h(x)=+infty

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