Sejam f, g: D subset R R, x0 in D^prime. Em cada um dos itens a seguir, considere a função h: D subset R R definida da forma indicada. Discuta o que se pode afirmar sobre h, com base nas hipóteses dadas sobre f e g.
lim x x0 f(x)=lim x x0 g(x)=+infty, h(x)=f(x)-g(x)

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções f e g definidas em DsubsetR e um ponto de acumulação x0in D'. Sabemos que
limxto x0f(x)=+infty e limxto x0g(x)=+infty,
e queremos discutir o comportamento de h(x)=f(x)-g(x). O conteúdo aqui é análise de limites envolvendo formas indeterminadas.

Passo 2

Como f(x)to+infty e g(x)to+infty, ao formarmos
h(x)=f(x)-g(x)
obtemos a forma infty-infty. Essa forma é, em geral, indeterminada, ou seja, apenas com os dados de fto+infty e gto+infty não é possível concluir o valor (ou mesmo a existência) de limxto x0h(x).

Passo 3

Para ver por que infty-infty é indeterminado, basta apresentar exemplos em que limxto x0h(x) tenha comportamentos distintos:
Escolha D=(0,1) e x0=0.
  1. Se definirmos
f(x)=1x^2+2, g(x)=1x^2+1,
então f(x)to+infty, g(x)to+infty e
h(x)=f(x)-g(x)=1,
logo
limxto0h(x)=1
  1. Se definirmos
f(x)=21x^2, g(x)=1x^2,
então ainda f(x)to+infty, g(x)to+infty e
h(x)=1x^2to+infty,
logo
limxto0h(x)=+infty
  1. Se definirmos
f(x)=1x^2, g(x)=21x^2,
então h(x)=-1x^2to-infty, logo
limxto0h(x)=-infty
Esses três exemplos mostram que, dependendo de como f e g se comportam relativamente, a diferença pode tender a um número finito, a +infty ou a -infty.

Passo 4

Como vimos, sem informação adicional sobre a taxa de crescimento de f em relação a g, a forma infty-infty não determina o limite de h(x)=f(x)-g(x). Ou seja, não podemos afirmar se limxto x0h(x) existe, é finito ou infinito.

Resposta

Não é possível determinar limxto x0(f(x)-g(x)) apenas com lim f=+infty e lim g=+infty; trata-se de uma forma indeterminada infty-infty.

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