Sejam
. Em cada um dos itens a seguir, considere a função
definida da forma indicada. Discuta o que se pode afirmar sobre
, com base nas hipóteses dadas sobre
e
.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas funções
e
definidas em
e um ponto de acumulação
. Sabemos que
e queremos discutir o comportamento de
. O conteúdo aqui é análise de limites envolvendo formas indeterminadas.
Passo 2
Como
e
, ao formarmos
obtemos a forma
. Essa forma é, em geral, indeterminada, ou seja, apenas com os dados de
e
não é possível concluir o valor (ou mesmo a existência) de
.
Passo 3
Para ver por que
é indeterminado, basta apresentar exemplos em que
tenha comportamentos distintos:
Escolha
e
.
- Se definirmos
então
,
e
logo
- Se definirmos
então ainda
,
e
logo
- Se definirmos
então
, logo
Esses três exemplos mostram que, dependendo de como
e
se comportam relativamente, a diferença pode tender a um número finito, a
ou a
.
Passo 4
Como vimos, sem informação adicional sobre a taxa de crescimento de
em relação a
, a forma
não determina o limite de
. Ou seja, não podemos afirmar se
existe, é finito ou infinito.
Resposta
Não é possível determinar
apenas com
e
; trata-se de uma forma indeterminada
.