Sejam f e g funções de \mathbb{R} em \mathbb{R} definidas, por f(x)=x^{2} e g(x)=x-2.
(a) Calcule f(0) e g(0) e pré-imagens de 1 por f e g.
(b) Encontre g \circ f e f \circ g e verifique se são iguais.
(c) Calcule as pré-imagens de 4 por g \circ f e f \circ g.

Passo 1

O enunciado define duas funções f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} e g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} por
f(x)=x^2, \qquad g(x)=x-2.
Ele pede:
– (a) os valores f(0), g(0) e as pré-imagens de 1 em f e em g;
– (b) as composições g\circ f e f\circ g e se elas coincidem;
– (c) as pré-imagens de 4 por g\circ f e por f\circ g.

Passo 2

Para (a), calculamos primeiro os valores diretos em 0:
f(0)=0^2=0, \qquad g(0)=0-2=-2.
Agora, a pré-imagem de 1 por f é a solução de
x^2=1,
logo
f^{-1}(1)=\{-1,\,1\}.
A pré-imagem de 1 por g vem de
x-2=1,
daí
g^{-1}(1)=\{3\}.

Passo 3

Para (b), formamos as composições:
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=f(x)-2=x^2-2,
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=(x-2)^2=x^2-4x+4.
Como x^2-2\neq x^2-4x+4 para todo x, concluímos que
g\circ f\neq f\circ g.

Passo 4

Para (c), encontramos as pré-imagens de 4:
– Em g\circ f: resolvemos
x^2-2=4\implies x^2=6\implies x=\pm\sqrt{6},
então
(g\circ f)^{-1}(4)=\{-\sqrt{6},\,\sqrt{6}\}.
– Em f\circ g: resolvemos
(x-2)^2=4\implies x-2=\pm2\implies x\in\{0,\,4\},
logo
(f\circ g)^{-1}(4)=\{0,\,4\}.

Resposta

(a) f(0)=0, g(0)=-2; f^{-1}(1)=\{-1,1\}, g^{-1}(1)=\{3\}.
(b) (g\circ f)(x)=x^2-2, (f\circ g)(x)=(x-2)^2; não são iguais.
(c) (g\circ f)^{-1}(4)=\{-\sqrt{6},\sqrt{6}\}, (f\circ g)^{-1}(4)=\{0,4\}.

Exercícios relacionados