Sejam F e G são campos de vetores em \mathbb{R}^{3} e f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} é uma função diferenciável. Verifique as seguintes identidades. N.B. Se F=\left(F_{1}, F_{2}, F_{3}\right), então definimos \triangle F=\left(\triangle F_{1}, \triangle F_{2}, \triangle F_{3}\right).
\operatorname{div}(\operatorname{grad} f)=\Delta f;

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade
\operatorname{div}(\operatorname{grad}f)=\Delta f
onde f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} é diferenciável. O conteúdo envolve operadores diferenciais em cálculo vetorial: o gradiente, a divergência e o laplaciano.

Passo 2

Definimos o gradiente de f como o campo de vetores
\operatorname{grad}f = \nabla f = \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr).
Esse vetor aponta na direção de máxima variação de f.

Passo 3

Definimos a divergência de um campo vetorial V=(V_1,V_2,V_3) por
\operatorname{div}V = \nabla\cdot V = \frac{\partial V_1}{\partial x} + \frac{\partial V_2}{\partial y} + \frac{\partial V_3}{\partial z}.
Isso mede a “taxa de expansão” do campo em cada ponto.

Passo 4

Agora aplicamos a definição de divergência ao campo \nabla f. Temos
\operatorname{div}(\nabla f) = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}\Bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) + \frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr).
Cada termo é uma derivada segunda mista de f.

Passo 5

Por definição, o laplaciano de f em \mathbb{R}^3 é
\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.
Observamos que isso coincide exatamente com o resultado do passo anterior.

Resposta

\operatorname{div}(\operatorname{grad}f)=\Delta f.

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