Sejam
e
são campos de vetores em
e
é uma função diferenciável. Verifique as seguintes identidades. N.B. Se
, então definimos
.
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade
onde
é diferenciável. O conteúdo envolve operadores diferenciais em cálculo vetorial: o gradiente, a divergência e o laplaciano.
Passo 2
Definimos o gradiente de
como o campo de vetores
Esse vetor aponta na direção de máxima variação de
.
Passo 3
Definimos a divergência de um campo vetorial
por
Isso mede a “taxa de expansão” do campo em cada ponto.
Passo 4
Agora aplicamos a definição de divergência ao campo
. Temos
Cada termo é uma derivada segunda mista de
.
Passo 5
Por definição, o laplaciano de
em
é
Observamos que isso coincide exatamente com o resultado do passo anterior.