Sejam f, g tais que lim x +infty f(x)=+infty e que lim x +infty g(x)=0. Quais das afirmações abaixo podemos afirmar com certeza:
dados a, b in R com a

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções f e g tais que limxto+inftyf(x)=+infty e limxto+inftyg(x)=0. Precisamos verificar se dessa informação podemos garantir que para quaisquer a em R valha f(a)<= f(b).

Passo 2

O fato de uma função tender a +infty quando xto+infty não implica que ela seja monótona. Por exemplo, considere
f(x)=x+sin(x). Temos
limxto+inftyl(x+sin(x)r)=+infty
porque o termo sin(x) oscila entre -1 e 1 e não impede o crescimento linear de x. No entanto, f não é não decrescente: existem valores a tais que f(a)>f(b) devido às oscilações do sin(x).

Resposta

Não podemos afirmar que f(a)<= f(b) para todo a.

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