Sejam
defimida por
um ponto arbitrário de
.
Obtenha a derivada direcional de
em
, na direção do vetor
, utilizando:
A definição de derivada direcional
Obtenha a derivada direcional de
A definição de derivada direcional
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ f(x, y) = x \cdot y $ que recebe dois números reais e retorna o produto deles. Queremos encontrar a derivada direcional dessa função num ponto qualquer $ (x_0, y_0) $ na direção de um vetor $ \vec{u} = (a, b) $ que tem módulo 1. Para isso, vamos usar a definição de derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. Ela nos diz como a função $ f $ está mudando em uma direção específica a partir de um ponto dado. A definição é:
Isso basicamente calcula a taxa de variação de $ f $ na direção de $ \vec{u} $.
Passo 3
Agora, vamos substituir a função $ f(x, y) = x \cdot y $ na definição. Ficaria assim:
Passo 4
Vamos expandir o produto $ (x_0 + h a)(y_0 + h b) $:
Substituindo de volta na expressão da derivada direcional:
Passo 5
Simplificando a expressão, cancelando $ x_0 y_0 $:
Agora, dividimos cada termo por $ h $:
Passo 6
Quando $ h $ tende a zero, o termo $ h a b $ também vai para zero. Portanto, a expressão final fica:
Resposta
A derivada direcional de $ f $ em $ (x_0, y_0) $ na direção do vetor $ \vec{u} $ é: