Sejam f: R^2 R defimida por f(x, y)=x y, u=(a, b), com|u|=1, c(x0, y0) in R^2 um ponto arbitrário de R^2.
Obtenha a derivada direcional de f em (x, to 0), na direção do vetor u, utilizando:
A definição de derivada direcional

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ f(x, y) = x \cdot y $ que recebe dois números reais e retorna o produto deles. Queremos encontrar a derivada direcional dessa função num ponto qualquer $ (x_0, y_0) $ na direção de um vetor $ \vec{u} = (a, b) $ que tem módulo 1. Para isso, vamos usar a definição de derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. Ela nos diz como a função $ f $ está mudando em uma direção específica a partir de um ponto dado. A definição é:
f
Isso basicamente calcula a taxa de variação de $ f $ na direção de $ \vec{u} $.

Passo 3

Agora, vamos substituir a função $ f(x, y) = x \cdot y $ na definição. Ficaria assim:
f(x, y) = x cdot y

Passo 4

Vamos expandir o produto $ (x_0 + h a)(y_0 + h b) $:
(x0 + h a)(y0 + h b)
Substituindo de volta na expressão da derivada direcional:
(x0 + h a)(y0 + h b) = x0 y0 + h a y0 + h b x0 + h^2 a b

Passo 5

Simplificando a expressão, cancelando $ x_0 y_0 $:
x0 y0
Agora, dividimos cada termo por $ h $:
Du f(x0, y0) = limh to 0 h a y0 + h b x0 + h^2 a bh

Passo 6

Quando $ h $ tende a zero, o termo $ h a b $ também vai para zero. Portanto, a expressão final fica:
h

Resposta

A derivada direcional de $ f $ em $ (x_0, y_0) $ na direção do vetor $ \vec{u} $ é:
f

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