5^{\underline{a}} Questão: ( 1,0 ponto) Usando o método da eliminação de Gauss, classifique o sistema abaixo e encontre sua(s) solução(ões), se possível:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=2 \\\ x-y-z=-3 \\\\ 2 x+y+2 z=1 \\\\ 3 x+2 y+3 z=3 \end{array}\right.
R: Sistema possível e determinado, sendo ( 3,-2,2 ), a única solução.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de quatro equações lineares em três incógnitas x,y,z e pede para usar eliminação de Gauss para classificá-lo (possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível) e, se possível, encontrar sua(s) solução(ões).

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e aplicamos operações elementares para criar zeros abaixo do pivô da primeira linha:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\\\ 1 & -1 & -1 & -3\\\\ 2 & 1 & 2 & 1\\\\ 3 & 2 & 3 & 3 \end{array}\right]
Fazendo
\mathrm{R}_2\leftarrow \mathrm{R}_2-\mathrm{R}_1,
\mathrm{R}_3\leftarrow \mathrm{R}_3-2\mathrm{R}_1,
\mathrm{R}_4\leftarrow \mathrm{R}_4-3\mathrm{R}_1,
obtemos
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\\\ 0 & -2 & -2 & -5\\\\ 0 & -1 & 0 & -3\\\\ 0 & -1 & 0 & -3 \end{array}\right].

Passo 3

Note que a terceira e a quarta linha ficaram idênticas, o que indica uma equação redundante. Podemos então usar a terceira linha
-1\cdot y + 0\cdot z = -3
para determinar
y = 3.

Passo 4

Substituindo y=3 na segunda linha
-2\,y -2\,z = -5
temos
-2\cdot 3 -2\,z = -5 \quad\Longrightarrow\quad -6 -2\,z = -5 \quad\Longrightarrow\quad -2\,z = 1 \quad\Longrightarrow\quad z = -\tfrac12.

Passo 5

Finalmente, na primeira linha
x + y + z = 2
substituímos y=3 e z=-\tfrac12:
x + 3 - \tfrac12 = 2 \quad\Longrightarrow\quad x + \tfrac52 = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = -\tfrac12.

Passo 6

Temos pivôs não nulos em três colunas (uma para cada variável) e consistência (não surgiu contradição). Logo, o sistema é possível e determinado, com única solução.

Resposta

O sistema é possível e determinado, e sua única solução é
\bigl(x,y,z\bigr) = \bigl(-\tfrac12,\,3,\,-\tfrac12\bigr).

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