Sejam f(t)=t^2+3, g(t)=2 t^3-3 t, u(t)=t i-t^2 j+2 t k, e v(t)=i-2 t j+3 t^2 k. Determine
dd t(f(t) v(t))

Passo 1

O enunciado pede a derivada do produto entre a função escalar f(t)=t^2+3 e o vetor vec v(t)=vec i -2t,vec j +3t^2,vec k. Para resolver, vamos usar a regra do produto de uma função escalar por um vetor, que diz
ddtl(f(t),vec v(t)r) = f'(t),vec v(t) + f(t),vec v'(t)

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de f(t). Como
f(t)=t^2+3,
temos
f'(t)=2t

Passo 3

Agora derivamos cada componente de vec v(t). Dado
vec v(t)=vec i -2t,vec j +3t^2,vec k,
obtemos
vec v'(t)=0,vec i -2,vec j +6t,vec k

Passo 4

Pela regra do produto escalar-vetor,
ddtl(f(t),vec v(t)r) = f'(t),vec v(t) + f(t),vec v'(t)

Passo 5

Vamos calcular os dois termos separadamente:
f'(t),vec v(t) =2tl(vec i -2t,vec j +3t^2,vec kr) =2t,vec i -4t^2,vec j +6t^3,vec k,
f(t),vec v'(t) =(t^2+3)l(0,vec i -2,vec j +6t,vec kr) =-2(t^2+3),vec j +6t(t^2+3),vec k = -2t^2-6;vec j ;+;(6t^3+18t),vec k

Passo 6

Somando os dois resultados componente a componente, fica
ddtl(f(t),vec v(t)r) = l(2tr),vec i + l(-4t^2-2t^2-6r),vec j + l(6t^3+6t^3+18tr),vec k =2t,vec i+(-6t^2-6),vec j+(12t^3+18t),vec k

Resposta

ddtl(f(t),vec v(t)r) =2t,vec i+(-6t^2-6),vec j+(12t^3+18t),vec k

Exercícios relacionados