Sejam f(t)=t^2+3, g(t)=2 t^3-3 t, u(t)=t i-t^2 j+2 t k, e v(t)=i-2 t j+3 t^2 k. Determine
dd t(u times v)

Passo 1

O enunciado pede a derivada do produto vetorial u(t)timesv(t).
O conteúdo principal é cálculo vetorial: a regra para derivada de um produto vetorial é
ddtl(utimesvr) =u'timesv+utimesv'
Logo, vamos precisar de u'(t) e v'(t), depois montar os dois produtos vetoriais e somá-los.

Passo 2

Calculando as derivadas componentes:
u(t)=t,i-t^2,j+2t,k implica
u'(t)=1cdoti-2t,j+2,k
v(t)=i-2t,j+3t^2,k implica
v'(t)=0cdoti-2,j+6t,k

Passo 3

Agora montamos u'timesv. Escrevendo em coordenadas:
u'=(1,,-2t,,2) e v=(1,,-2t,,3t^2).
Pelo determinante,
u'timesv =l((-2t)cdot3t^2-2cdot(-2t)r),i -l(1cdot3t^2-2cdot1r),j +l(1cdot(-2t)-(-2t)cdot1r),k,
o que dá
u'timesv =l(-6t^3+4tr),i +l(-3t^2+2r),j +0,k

Passo 4

Agora montamos utimesv'. Temos
u=(t,,-t^2,,2t) e v'=(0,,-2,,6t), então
utimesv' =l((-t^2)cdot6t-2tcdot(-2)r),i -l(tcdot6t-2tcdot0r),j +l(tcdot(-2)-(-t^2)cdot0r),k,
resultando em
utimesv' =l(-6t^3+4tr),i +l(-6t^2r),j +l(-2tr),k

Passo 5

Somando as duas parcelas da regra do produto vetorial:
ddt(utimesv) =(u'timesv)+(utimesv')
=l(-6t^3+4tr),i+l(-3t^2+2r),j+0,k +l(-6t^3+4tr),i+l(-6t^2r),j+l(-2tr),k
=l(-12t^3+8tr),i +l(-9t^2+2r),j +l(-2tr),k

Resposta

ddtl(utimesvr) =l(-12t^3+8tr),i +l(-9t^2+2r),j +l(-2tr),k

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