Sejam f(t)=t^2+3, g(t)=2 t^3-3 t, u(t)=t i-t^2 j+2 t k, e v(t)=i-2 t j+3 t^2 k. Determine
dd t(g(t) u(t))

Passo 1

O enunciado dá as funções escalares
g(t)=2t^3-3t
e o vetor
u(t)=t,i-t^2,j+2t,k,
e pede ddtl(g(t),u(t)r).
Para isso vamos usar a regra do produto entre função escalar e função vetorial:
ddtl(g(t),u(t)r) = g'(t),u(t) + g(t),u'(t)

Passo 2

Calcular g'(t) e u'(t).
Para g(t)=2t^3-3t,
g'(t)=6t^2-3
Para u(t)=t,i-t^2,j+2t,k, derivando cada componente:
u'(t) =ddtl(tr),i +ddtl(-t^2r),j +ddtl(2tr),k =i-2t,j+2,k

Passo 3

Aplicar a regra do produto:
ddtl(gur) =(6t^2-3)l(t,i-t^2,j+2t,kr) +(2t^3-3t)l(i-2t,j+2,kr)

Passo 4

Expandir cada termo em componentes:
(6t^2-3),u(t) =(6t^2-3),t,i +(6t^2-3)(-t^2),j +(6t^2-3),2t,k =(6t^3-3t),i+(-6t^4+3t^2),j+(12t^3-6t),k,
g(t),u'(t) =(2t^3-3t),i +(2t^3-3t)(-2t),j +(2t^3-3t),2,k =(2t^3-3t),i+(-4t^4+6t^2),j+(4t^3-6t),k

Passo 5

Somando componente a componente:
i: (6t^3-3t)+(2t^3-3t)=8t^3-6t,
j: (-6t^4+3t^2)+(-4t^4+6t^2)=-10t^4+9t^2,
k: (12t^3-6t)+(4t^3-6t)=16t^3-12t.

Resposta

ddtl(g(t),u(t)r) =(8t^3-6t),i+(-10t^4+9t^2),j+(16t^3-12t),k

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