Sejam
e
. Expresse cada função abaixo como uma função composta envolvendo duas das funções
e
(por exemplo, se
, então
).
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá as funções
-
, -
, -
, -
.
Pede para expressar a função
como uma função composta envolvendo duas das funções
. Ou seja, encontrar duas dessas funções
e
tais que
.
Passo 2
O que significa escrever
?
- Primeiro aplicamos a função interna
a ; chamemos o resultado de . - Depois aplicamos a função externa
a ; isto é . O composto é com .
Exemplo simples (para fixar): se
e
, então
. Repare que a forma externa é “elevar ao quadrado” e a forma interna é “subtrair 1”.
Passo 3
Olhemos para
. Essa expressão tem claramente duas etapas:
- Subtrair
de → isto é exatamente o que faz . - Elevar ao cubo o resultado → isto é exatamente o que faz
.
Portanto a função interna deve ser
e a externa deve ser
.
Passo 4
Agora montar o composto e verificar passo a passo:
- Calcular a parte interna:
. Chame esse valor de : . - Aplicar a parte externa:
. Substituindo obtemos .
Logo
reproduz exatamente
.
Passo 5
Observação sobre domínio (só para segurança):
-
é definida para todo . -
é definida para todo .
Assimtambém está definida para todo , o mesmo domínio de . (As outras funções não são necessárias aqui.)