Sejam f(x)=x-3, g(x)=\sqrt{x}, h(x)=x^{3} e k(x)=2 x. Expresse cada função abaixo como uma função composta envolvendo duas das funções f, g, h e k (por exemplo, se q(x)=\sqrt{x-3}, então q(x)=g(f(x)) ).
(b) q(x)=(x-3)^{3}

Passo 1

O enunciado dá as funções
  • f(x)=x-3,
  • g(x)=\sqrt{x},
  • h(x)=x^{3},
  • k(x)=2x.
Pede para expressar a função
  • q(x)=(x-3)^{3}
como uma função composta envolvendo duas das funções f,g,h,k. Ou seja, encontrar duas dessas funções A e B tais que q(x)=(A\circ B)(x)=A(B(x)).

Passo 2

O que significa escrever A(B(x))?
  • Primeiro aplicamos a função interna B a x; chamemos o resultado de t=B(x).
  • Depois aplicamos a função externa A a t; isto é A(t). O composto é A(B(x))=A(t) com t=B(x).
Exemplo simples (para fixar): se B(x)=x-1 e A(u)=u^{2}, então A(B(x))=(x-1)^{2}. Repare que a forma externa é “elevar ao quadrado” e a forma interna é “subtrair 1”.

Passo 3

Olhemos para q(x)=(x-3)^{3}. Essa expressão tem claramente duas etapas:
  1. Subtrair 3 de x → isto é exatamente o que faz f(x)=x-3.
  2. Elevar ao cubo o resultado → isto é exatamente o que faz h(x)=x^{3}.
Portanto a função interna deve ser f e a externa deve ser h.

Passo 4

Agora montar o composto e verificar passo a passo:
  • Calcular a parte interna: f(x)=x-3. Chame esse valor de t: t=f(x)=x-3.
  • Aplicar a parte externa: h(t)=t^{3}. Substituindo t=f(x) obtemos h(f(x))=(f(x))^{3}=(x-3)^{3}.
Logo h(f(x)) reproduz exatamente q(x).

Passo 5

Observação sobre domínio (só para segurança):
  • f é definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • h é definida para todo x\in\mathbb{R}.
    Assim h(f(x)) também está definida para todo x\in\mathbb{R}, o mesmo domínio de q(x). (As outras funções g,k não são necessárias aqui.)

Resposta

q(x)=h(f(x))

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