Sejam f(x)=x-3, g(x)=\sqrt{x}, h(x)=x^{3} e k(x)=2 x. Expresse cada função abaixo como uma função composta envolvendo duas das funções f, g, h e k (por exemplo, se q(x)=\sqrt{x-3}, então q(x)=g(f(x)) ).
(d) q(x)=\sqrt{2 x}

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=x-3,\qquad g(x)=\sqrt{x},\qquad h(x)=x^{3},\qquad k(x)=2x
e pede para escrever q(x)=\sqrt{2x} como uma função composta que envolva duas das funções f,g,h,k. Ou seja, preciso encontrar duas dessas funções A e B tais que q(x)=A(B(x)) (ou A\circ B).

Passo 2

Explicando o que é composição de funções de forma prática: se A e B são funções, então A(B(x)) significa “primeiro aplicar B a x, obter B(x), e em seguida aplicar A ao resultado”. Em notação, (A\circ B)(x)=A(B(x)).

Passo 3

Vamos testar combinar as funções fornecidas para obter q(x)=\sqrt{2x}. Observe que k(x)=2x produz a parte 2x que está dentro da raiz, e g(x)=\sqrt{x} faz a raiz. Portanto, se primeiro aplicarmos k e depois g, obtemos
g(k(x))=g(2x)=\sqrt{2x},
que é exatamente q(x).

Passo 4

Pequena observação sobre ordem: aqui é crucial que a função que produz o argumento da raiz venha primeiro ( k), e a função que faz a raiz ( g) venha depois. Ou seja, g\circ k funciona, enquanto k\circ g seria k(g(x))=2\sqrt{x}, que é diferente. Também vale notar o domínio: g(k(x))=\sqrt{2x} exige 2x\ge 0, logo x\ge 0.

Resposta

q(x)=g(k(x))

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