Sejam f(x)=2 x+1 e g(x)=x^{2} :
a) Calcule f(g(x)).
b) Calcule g(f(x)).
c) Determine o domínio e a imagem para as letras a) e b).

Passo 1

O enunciado nos dá as funções f(x)=2x+1 e g(x)=x^2 e pede: (a) a composição f\bigl(g(x)\bigr), (b) a composição g\bigl(f(x)\bigr) e (c) o domínio e a imagem de cada uma dessas composições. Vamos usar definição de composição de funções e depois analisar para quais x elas estão definidas (domínio) e quais valores assumem (imagem).

Passo 2

Para calcular f\bigl(g(x)\bigr) substituímos g(x)=x^2 em f. Assim,
f\bigl(g(x)\bigr)=f\bigl(x^2\bigr)=2\bigl(x^2\bigr)+1=2x^2+1.

Passo 3

Para calcular g\bigl(f(x)\bigr) substituímos f(x)=2x+1 em g. Logo,
g\bigl(f(x)\bigr)=g\bigl(2x+1\bigr)=\bigl(2x+1\bigr)^2=4x^2+4x+1.

Passo 4

Ambas as funções f e g estão definidas para todo x\in\mathbb{R}, portanto as composições também têm domínio \mathbb{R}.
Para a imagem de f\bigl(g(x)\bigr)=2x^2+1, note que x^2\ge0 para todo x, então 2x^2\ge0 e 2x^2+1\ge1. Assim
\text{Im}\bigl(f\circ g\bigr)=[1,\infty).
Para a imagem de g\bigl(f(x)\bigr)=(2x+1)^2, um quadrado é sempre \ge0, e atinge 0 para 2x+1=0 (isto é, x=-\tfrac12). Logo
\text{Im}\bigl(g\circ f\bigr)=[0,\infty).

Resposta

(a) \,f\bigl(g(x)\bigr)=2x^2+1.
(b) \,g\bigl(f(x)\bigr)=(2x+1)^2=4x^2+4x+1.
(c) \text{Dom}(f\circ g)=\mathbb{R},\quad \text{Im}(f\circ g)=[1,\infty); \text{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R},\quad \text{Im}(g\circ f)=[0,\infty).

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