Sejam V=R^3, U=(x, y, z) in V: x=z, y=0 e W=(x, y, z) in V: x=-z. Faça o que se pede:
Determine U cap W e dim(U cap W);

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem dois conjuntos de vetores no espaço tridimensional, V = R^3 . O primeiro conjunto, U , é formado pelos vetores que satisfazem x = z e y = 0 . O segundo conjunto, W , inclui os vetores que satisfazem x = -z . Nosso objetivo aqui é encontrar qual é a interseção desses dois conjuntos, ou seja, U cap W , e descobrir a dimensão dessa interseção, dim(U cap W) .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa U cap W . A interseção de dois conjuntos é o conjunto de elementos que estão nos dois conjuntos ao mesmo tempo. Então, queremos encontrar todos os vetores (x, y, z) que satisfazem tanto as condições de U quanto as de W .

Passo 3

Vamos escrever as condições dadas:
Para U :
x = z e y = 0
Para W :
x = -z
Agora, vamos combinar essas equações para encontrar os vetores que estão em ambos os conjuntos.

Passo 4

Começamos igualando as expressões de x de U e W :
x = z e x = -z
Isso significa que:
z = -z

Passo 5

Resolvendo a equação z = -z :
z + z = 0 implies 2z = 0 implies z = 0
Se z = 0 , então, de x = z , temos x = 0 .
E de y = 0 (da definição de U ), já sabemos que y = 0 .

Passo 6

Portanto, o único vetor que satisfaz todas as condições é:
(0, 0, 0)

Resposta

A interseção U cap W é o conjunto (0, 0, 0) e a dimensão dim(U cap W) é 0.

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