Sejam V=R^3, U=(x, y, z) in V: x=z, y=0 e W=(x, y, z) in V: x=-z. Faça o que se pede:
A soma é direta?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um espaço vetorial V = R^3 e dois subconjuntos U e W. Precisamos descobrir se a soma desses dois conjuntos, U + W, é uma soma direta. Sobre o que estamos falando? Estamos trabalhando com espaços vetoriais e somas diretas. Para resolver isso, vamos precisar entender como esses conjuntos se comportam quando somados e verificar se a interseção deles é somente o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que são U e W.
  • Conjunto U: São todos os vetores em V onde x = z e y = 0. Então, podemos escrever qualquer vetor de U como (x, 0, x).
  • Conjunto W: São todos os vetores em V onde x = -z. Então, qualquer vetor de W é (x, y, -x).

Passo 3

Agora, para verificar se a soma U + W é direta, precisamos checar se a única solução para a equação u + w = 0 (onde u in U e w in W) é u = w = 0. Em outras palavras, queremos ver se U cap W = 0.

Passo 4

Vamos supor que há um vetor que está em ambos, U e W. Isso significa que esse vetor deve satisfazer as condições de U e de W ao mesmo tempo.
Então, temos:
  1. De U: x = z e y = 0.
  2. De W: x = -z.

Passo 5

Juntando essas condições:
  • De U: x = z.
  • De W: x = -z.
Se x = z e x = -z, então x = -x, o que implica que x = 0. Se x = 0, então z = 0 (porque x = z), e de U, y = 0. Portanto, o único vetor que está em ambos é o vetor zero, (0, 0, 0).

Passo 6

Como o único vetor comum a U e W é o vetor zero, isso significa que U cap W = 0. Logo, a soma U + W é direta.

Resposta

Sim, a soma U + W é direta.

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