Sejam
e
. Faça o que se pede:
A soma é direta?
A soma é direta?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um espaço vetorial
e dois subconjuntos
e
. Precisamos descobrir se a soma desses dois conjuntos,
, é uma soma direta. Sobre o que estamos falando? Estamos trabalhando com espaços vetoriais e somas diretas. Para resolver isso, vamos precisar entender como esses conjuntos se comportam quando somados e verificar se a interseção deles é somente o vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que são
e
.
-
Conjunto
: São todos os vetores em onde e . Então, podemos escrever qualquer vetor de como . -
Conjunto
: São todos os vetores em onde . Então, qualquer vetor de é .
Passo 3
Agora, para verificar se a soma
é direta, precisamos checar se a única solução para a equação
(onde
e
) é
. Em outras palavras, queremos ver se
.
Passo 4
Vamos supor que há um vetor que está em ambos,
e
. Isso significa que esse vetor deve satisfazer as condições de
e de
ao mesmo tempo.
Então, temos:
- De
: e . - De
: .
Passo 5
Juntando essas condições:
- De
: . - De
: .
Se
e
, então
, o que implica que
. Se
, então
(porque
), e de
,
. Portanto, o único vetor que está em ambos é o vetor zero,
.
Passo 6
Como o único vetor comum a
e
é o vetor zero, isso significa que
. Logo, a soma
é direta.
Resposta
Sim, a soma
é direta.