Verifique se o conjunto , com , é base para o espaço M2 x 2.
os exercícios não podem ser realizados com determinantes e sim por escalonamento de Gauss, nas questões de base para o espaço deve ser provado
O conjunto gera o espaço
O conjunto é Linearmente Independente
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
D=v1,v2,v3,v4subset M2times2
é base, isto é, se gera todo M2times2 e é linearmente independente, sem usar determinantes, mas sim escalonamento de Gauss. Como M2times2 tem dimensão 4 sobre R, basta mostrar que os quatro vetores associados a vi em R^4 têm posto 4.
Passo 2
Vamos associar cada matriz
ao vetor . Assim:
Colocamos esses vetores como linhas de uma matriz e vamos escalonar:
Passo 3
Eliminamos o elemento 4 em A21 usando R2>=ts R2-4,R1:
Agora a matriz está em forma triangular superior com pivôs não nulos em todas as 4 colunas.
Passo 7
Como obtivemos 4 pivôs não nulos, o posto de A é 4. Em R^4, isso implica que os vetores são linearmente independentes e, por terem 4 vetores em espaço de dimensão 4, também geram o espaço.
Resposta
O conjunto D gera M2times2 e é linearmente independente. Logo, D é base de M2times2.