Verifique se o conjunto D=v1, v2, v3, v4, com v1=[ll1 & 2 0 & 0], v2=[cc4 & 0 0 & -4], v3=[ll0 & 0 2 & 1], v4=[cc0 & -3 1 & 0], é base para o espaço M2 x 2.
os exercícios não podem ser realizados com determinantes e sim por escalonamento de Gauss, nas questões de base para o espaço deve ser provado
  1. O conjunto gera o espaço
  2. O conjunto é Linearmente Independente

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
D=v1,v2,v3,v4subset M2times2
é base, isto é, se gera todo M2times2 e é linearmente independente, sem usar determinantes, mas sim escalonamento de Gauss. Como M2times2 tem dimensão 4 sobre R, basta mostrar que os quatro vetores associados a vi em R^4 têm posto 4.

Passo 2

Vamos associar cada matriz
ao vetor . Assim:
Colocamos esses vetores como linhas de uma matriz e vamos escalonar:

Passo 3

Eliminamos o elemento 4 em A21 usando R2>=ts R2-4,R1:
1 & 2 & 0 & 0 0 & -8 & 0 & -4 0 & 0 & 2 & 1 0 & -3 & 1 & 0

Passo 4

Eliminamos o -3 em A42 usando o pivô -8 em R2. Como -3-8=tfrac38, fazemos
R4>=ts R4-tfrac38,R2 Longrightarrow 1 & 2 & 0 & 0 0 & -8 & 0 & -4 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 1 & tfrac32

Passo 5

Para ter pivô em A33, trocamos R3 com R4:
1 & 2 & 0 & 0 0 & -8 & 0 & -4 0 & 0 & 1 & tfrac32 0 & 0 & 2 & 1

Passo 6

Eliminamos o 2 em A43 usando o pivô 1 em R3:
R4>=ts R4-2,R3 Longrightarrow 1 & 2 & 0 & 0 0 & -8 & 0 & -4 0 & 0 & 1 & tfrac32 0 & 0 & 0 & -2
Agora a matriz está em forma triangular superior com pivôs não nulos em todas as 4 colunas.

Passo 7

Como obtivemos 4 pivôs não nulos, o posto de A é 4. Em R^4, isso implica que os vetores são linearmente independentes e, por terem 4 vetores em espaço de dimensão 4, também geram o espaço.

Resposta

O conjunto D gera M2times2 e é linearmente independente. Logo, D é base de M2times2.

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