Sejam A, B subseteq R e f: A B uma função definida por f(x)=-x^2-4 x-3. Determine os maiores conjuntos (no sentido da inclusão) A e B que tornam f inversível. Em seguida, determine f^-1.

Passo 1

O enunciado pede que a gente torne a função
f(x)=-x^2-4x-3
inversível, ou seja, bijetiva de um conjunto AsubseteqR para BsubseteqR. O assunto aqui é restrição de domínio para garantir monotonicidade e, em seguida, resolver para obter f^-1.

Passo 2

Reescrevendo em vértice, temos
f(x)=-(x+2)^2+1,
cujo vértice é (-2,1). O gráfico é uma parábola “côncava para baixo” e sua derivada é
f'(x)=-2(x+2)
Logo, f'!>0 em x<-2 (ramo crescente) e f'<0 em x>-2 (ramo decrescente). Para tornar f injetora, precisamos escolher um dos dois intervalos onde ela é estritamente monotônica:
A1=(-infty,-2]ou A2=[-2,infty)

Passo 3

Em qualquer um desses intervalos, f atinge seu valor máximo f(-2)=1 e limxtopminfty f(x) = -infty. Assim o contradomínio (imagem) fica
B = (-infty, 1]
Esse é o maior B possível para que f colon Ai to B seja sobrejetora.

Passo 4

Para achar f^-1, partimos de y=f(x):
y = -x^2-4x-3 Longrightarrow x^2+4x+(3+y)=0
Pela fórmula de Bhaskara,
x = -4pmraiz16-4(3+y)2 = -4pm2raiz1-y2 = -2pmraiz1-y
Cada escolha do sinal pm corresponde a um dos ramos monotônicos.

Resposta

Para A1=(-infty,-2] e B=(-infty,1] temos
f^-1(y) = -2 - raiz1-y, y<=1
Para A2=[-2,infty) e B=(-infty,1] temos
f^-1(y) = -2 + raiz1-y, y<=1

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