Sejam
e
uma função definida por
. Determine os maiores conjuntos (no sentido da inclusão)
e
que tornam
inversível. Em seguida, determine
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente torne a função
inversível, ou seja, bijetiva de um conjunto
para
. O assunto aqui é restrição de domínio para garantir monotonicidade e, em seguida, resolver para obter
.
Passo 2
Reescrevendo em vértice, temos
cujo vértice é
. O gráfico é uma parábola “côncava para baixo” e sua derivada é
Logo,
em
(ramo crescente) e
em
(ramo decrescente). Para tornar
injetora, precisamos escolher um dos dois intervalos onde ela é estritamente monotônica:
Passo 3
Em qualquer um desses intervalos,
atinge seu valor máximo
e
. Assim o contradomínio (imagem) fica
Esse é o maior
possível para que
seja sobrejetora.
Passo 4
Para achar
, partimos de
:
Pela fórmula de Bhaskara,
Cada escolha do sinal
corresponde a um dos ramos monotônicos.
Resposta
Para
e
temos
Para
e
temos