Sejam f: X Y uma função e A subseteq X. Mostre que:
(a) A subseteq f^-1(f(A));
(b) se f é injetiva, então A=f^-1(f(A)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f: X Y e um subconjunto A subseteq X . O exercício pede para mostrar duas coisas:
(a) Que todo elemento de A está dentro de f^-1(f(A)) ;
(b) Que se f for injetiva, então A é exatamente igual a f^-1(f(A)) .
Aqui, estamos trabalhando com funções e conjuntos, e vamos precisar entender o que são imagem e pré-imagem de conjuntos em funções, além do conceito de injeção.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): mostrar que A subseteq f^-1(f(A)) .
Primeiro, recall que f(A) é o conjunto das imagens dos elementos de A através de f . Ou seja:
f(A) = f(a) | a in A
A pré-imagem f^-1(f(A)) é o conjunto de todos os elementos em X que f manda para algum elemento de f(A) . Formalmente:
f^-1(f(A)) = x in X | f(x) in f(A)
Agora, queremos mostrar que todo a in A também está em f^-1(f(A)) .

Passo 3

Pegamos um elemento qualquer a in A . Como a está em A , sua imagem f(a) está em f(A) por definição.
Então, f(a) in f(A) . Isso significa que a satisfaz a condição para estar em f^-1(f(A)) , já que f(a) é um elemento de f(A) .
Portanto, a in f^-1(f(A)) .

Passo 4

Como escolhemos um elemento qualquer a in A e mostramos que a in f^-1(f(A)) , concluímos que todo elemento de A está em f^-1(f(A)) .
Assim, A subseteq f^-1(f(A)) , conforme queríamos demonstrar na parte (a).

Passo 5

Agora vamos para a parte (b): se f é injetiva, então A = f^-1(f(A)) .
Já sabemos que A subseteq f^-1(f(A)) sempre é verdadeiro. Agora, precisamos mostrar que f^-1(f(A)) subseteq A quando f é injetiva.
Uma função é injetiva se cada elemento do domínio é mapeado para um elemento único no contradomínio. Ou seja, se f(a1) = f(a2) implica a1 = a2 .

Passo 6

Vamos pegar um elemento x in f^-1(f(A)) . Isso significa que f(x) in f(A) . Então, existe algum a in A tal que f(x) = f(a) .
Como f é injetiva, se f(x) = f(a) , então x = a .
Mas a in A , então x in A .

Passo 7

Portanto, mostramos que qualquer x in f^-1(f(A)) também está em A , ou seja, f^-1(f(A)) subseteq A .
Combinando isso com A subseteq f^-1(f(A)) que provamos antes, concluímos que A = f^-1(f(A)) quando f é injetiva.

Resposta

Concluímos que:
(a) A subseteq f^-1(f(A)) ;
(b) Se f é injetiva, então A = f^-1(f(A)) .

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