Sejam
uma função e
. Mostre que:
(a)
;
(b) se
é injetiva, então
.
(a)
(b) se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e um subconjunto
. O exercício pede para mostrar duas coisas:
(a) Que todo elemento de está dentro de
;
(b) Que se for injetiva, então
é exatamente igual a
.
(a) Que todo elemento de
(b) Que se
Aqui, estamos trabalhando com funções e conjuntos, e vamos precisar entender o que são imagem e pré-imagem de conjuntos em funções, além do conceito de injeção.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): mostrar que
.
Primeiro, recall que
é o conjunto das imagens dos elementos de
através de
. Ou seja:
A pré-imagem
é o conjunto de todos os elementos em
que
manda para algum elemento de
. Formalmente:
Agora, queremos mostrar que todo
também está em
.
Passo 3
Pegamos um elemento qualquer
. Como
está em
, sua imagem
está em
por definição.
Então,
. Isso significa que
satisfaz a condição para estar em
, já que
é um elemento de
.
Portanto,
.
Passo 4
Como escolhemos um elemento qualquer
e mostramos que
, concluímos que todo elemento de
está em
.
Assim,
, conforme queríamos demonstrar na parte (a).
Passo 5
Agora vamos para a parte (b): se
é injetiva, então
.
Já sabemos que
sempre é verdadeiro. Agora, precisamos mostrar que
quando
é injetiva.
Uma função é injetiva se cada elemento do domínio é mapeado para um elemento único no contradomínio. Ou seja, se
implica
.
Passo 6
Vamos pegar um elemento
. Isso significa que
. Então, existe algum
tal que
.
Como
é injetiva, se
, então
.
Mas
, então
.
Passo 7
Portanto, mostramos que qualquer
também está em
, ou seja,
.
Combinando isso com
que provamos antes, concluímos que
quando
é injetiva.
Resposta
Concluímos que:
(a) ;
(b) Se é injetiva, então
.
(a)
(b) Se