Sejam f: X Y e g: Y Z funções. Prove que:
se se f circ g=I dY, então f é sobrejetiva.

Passo 1

O enunciado dá duas funções
,fcolon Xto Y e ,gcolon Yto X
e afirma que
fcirc g = IdY
O que queremos provar é que f é sobrejetiva, ou seja, que todo elemento de Y tem pelo menos um antecessor em X.

Passo 2

Lembrando a definição de sobrejetividade:
,f é sobrejetiva se, e somente se,
forall yin Y;exists xin X tal que f(x)=y

Passo 3

Como fcirc g = IdY, para qualquer yin Y vale
(fcirc g)(y)=IdY(y) Longrightarrow fl(g(y)r)=y

Passo 4

Da igualdade f(g(y))=y vemos que, dado qualquer yin Y, o elemento x=g(y) em X satisfaz f(x)=y. Portanto existe sempre um antecedente de y pela função f, o que mostra que f é sobrejetiva.

Resposta

f é sobrejetiva.

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