Sejam
e
funções. Prove que:
se se
, então
é sobrejetiva.
se se
Passo 1
O enunciado dá duas funções
e
e afirma que
e afirma que
O que queremos provar é que
é sobrejetiva, ou seja, que todo elemento de
tem pelo menos um antecessor em
.
Passo 2
Lembrando a definição de sobrejetividade:
é sobrejetiva se, e somente se,
Passo 3
Como
, para qualquer
vale
Passo 4
Da igualdade
vemos que, dado qualquer
, o elemento
em
satisfaz
. Portanto existe sempre um antecedente de
pela função
, o que mostra que
é sobrejetiva.