Sejam f: V W uma função linear, A=v1, ldots, vn uma base de V e B=w1, ldots, wm uma base de W. Estabeleça se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
Se n=m e f(vi)=wi para todo i, então f é bijetora.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial V de dimensão n com base A=underline v1,dots,underline vn e um espaço W de dimensão m com base B=underline w1,dots,underline wm. É dada uma aplicação linear f:Vto W tal que n=m e
f(underline vi)=underline wi
para todo i=1,dots,n. Queremos decidir se f é bijetora.

Passo 2

Mostramos primeiro que f é sobrejetora. Como B é base de W, qualquer vetor win W pode ser escrito como
w = sumi=1^n ai,wi
Mas wi = f(vi), logo
w = fl(sumi=1^n ai,vir),
o que mostra que todo w tem pré-imagem em V. Portanto f é sobrejetora.

Passo 3

Agora mostramos que f é injetora. Seja underline vin V tal que f(underline v)=underline 0. Como A é base de V, escrevemos
underline v = sumi=1^n bi,underline vi
Aplicando f obtemos
underline 0 = f(underline v) = sumi=1^n bi,f(underline vi) = sumi=1^n bi,underline wi
Mas underline wi é uma base, logo a combinação linear acima só pode ser nula se cada bi=0. Assim underline v=0 e ker f=0, o que implica que f é injetora.

Passo 4

Concluímos que f é simultaneamente injetora e sobrejetora, ou seja, é bijetora.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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