Sejam f: V W uma função linear, A=v1, ldots, vn uma base de V e B=w1, ldots, wm uma base de W. Estabeleça se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
Se g: W V for uma função linear, então as duas composições g circ f: V V e f circ g: W W são lineares.

Passo 1

O enunciado dá fcolon Vto W e gcolon Wto V lineares e pergunta se as composições
gcirc fcolon Vto V e fcirc gcolon Wto W também são lineares.

Passo 2

Mostramos que gcirc f é linear. Para quaisquer u,vin V e escalar alpha, temos
(gcirc f)(u+v) = gl(f(u+v)r) = gl(f(u)+f(v)r) = gl(f(u)r)+gl(f(v)r) =(gcirc f)(u)+(gcirc f)(v)
e
(gcirc f)(alpha,u) = gl(f(alpha,u)r) = gl(alpha,f(u)r) = alpha,gl(f(u)r) = alpha,(gcirc f)(u)
Logo gcirc f preserva soma e multiplicação por escalar, ou seja, é linear.

Passo 3

De modo análogo, para quaisquer x,yin W e escalar alpha,
(fcirc g)(x+y) = fl(g(x+y)r) = fl(g(x)+g(y)r) = fl(g(x)r)+fl(g(y)r)
e
(fcirc g)(alpha,x) = fl(g(alpha,x)r) = fl(alpha,g(x)r) = alpha,fl(g(x)r)
Portanto fcirc g também é linear.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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