Sejam uma função linear, uma base de e uma base de W. Estabeleça se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
Se n >= m, então f é sobrejetora.
Passo 1
O enunciado considera uma transformação linear fcolon Vto W com dim V=n e dim W=m, e pergunta se a condição n>= m implica que f é sobrejetora. Para responder, vamos usar a definição de transformação sobrejetora (imagem igual ao espaço-alvo) e o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo-Imagem).
Passo 2
Uma transformação linear é sobrejetora se e somente se
isto é,
Por outro lado, o Teorema Núcleo-Imagem diz que
onde é sempre .
Passo 3
Da relação
segue que
Para ser sobrejetora precisamos de , ou seja
A condição garante apenas que , logo existe a possibilidade de , mas não a necessidade. Em outras palavras, mesmo com , a nulidade pode ser maior que , tornando e impedindo a sobrejeção.
Passo 4
Contraponto via exemplo: seja o mapa zero, definido por para todo . Aqui qualquer, mas , então não é sobrejetora.