Sejam f: V W uma função linear, A=v1, ldots, vn uma base de V e B=w1, ldots, wm uma base de W. Estabeleça se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
Se n >= m, então f é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado considera uma transformação linear fcolon Vto W com dim V=n e dim W=m, e pergunta se a condição n>= m implica que f é sobrejetora. Para responder, vamos usar a definição de transformação sobrejetora (imagem igual ao espaço-alvo) e o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo-Imagem).

Passo 2

Uma transformação linear é sobrejetora se e somente se
isto é,
Por outro lado, o Teorema Núcleo-Imagem diz que
onde é sempre .

Passo 3

Da relação
segue que
Para ser sobrejetora precisamos de , ou seja
A condição garante apenas que , logo existe a possibilidade de , mas não a necessidade. Em outras palavras, mesmo com , a nulidade pode ser maior que , tornando e impedindo a sobrejeção.

Passo 4

Contraponto via exemplo: seja o mapa zero, definido por para todo . Aqui qualquer, mas , então não é sobrejetora.

Resposta

Falsa.

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