Sejam
funções diferenciáveis tais que
e
. Calcule
.
.
Passo 1
A gente tem duas funções diferenciáveis f e g tais que f(g(x)) = x para todo x real, ou seja, g é a inversa de f. Além disso, sabemos que a derivada de f satisfaz f’(x) = 1 + f(x)². O conteúdo é derivada de funções compostas e a regra da função inversa.
Passo 2
Como f∘g é a função identidade, temos (f∘g)’(x) = 1. Aplicando a regra da cadeia,
daí isolamos g’(x):