Sejam f, g: R R funções diferenciáveis tais que f(g(x))=x, forall x in R e f^prime(x)=1+f(x)^2. Calcule g^prime(x).
(R: 11+x^2).

Passo 1

A gente tem duas funções diferenciáveis f e g tais que f(g(x)) = x para todo x real, ou seja, g é a inversa de f. Além disso, sabemos que a derivada de f satisfaz f’(x) = 1 + f(x)². O conteúdo é derivada de funções compostas e a regra da função inversa.

Passo 2

Como f∘g é a função identidade, temos (f∘g)’(x) = 1. Aplicando a regra da cadeia,
(fcirc g)'(x) = f'(g(x)) cdot g'(x) = 1
daí isolamos g’(x):
g'(x) = 1f'(g(x))

Resposta

dfrac11+x^2

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