Sejam
e
funções com mesmo domínio. Verifique se as afirmações são verdadeiras (e prove) ou falsas (e dê um contra-exemplo).
Se
é par e
é ímpar, então
é ímpar.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que, dadas as funções
e
com o mesmo domínio, se
é par e
é ímpar, então a composição
seria ímpar. O conteúdo aqui é paridade de funções e composição de funções.
Passo 2
Definições de paridade:
é par se, para todo
no domínio,
Passo 3
Calculemos
. Pela definição de composição e pelo fato de
ser par, temos
Para que
seja ímpar, precisaríamos
ou seja
Passo 4
A igualdade acima só ocorre se
para todo
, o que é um caso trivial. Logo, em geral
não é ímpar.
Passo 5
Contraexemplo concreto:
Aqui
é par e
é ímpar, mas
é uma função par, não ímpar.
Resposta
A afirmação é falsa. Como contraexemplo, basta tomar
e
, pois aí
é par.