Sejam f e g funções com mesmo domínio. Verifique se as afirmações são verdadeiras (e prove) ou falsas (e dê um contra-exemplo).
Se f é par e g é ímpar, então g circ f é ímpar.

Passo 1

O enunciado afirma que, dadas as funções f e g com o mesmo domínio, se f é par e g é ímpar, então a composição gcirc f seria ímpar. O conteúdo aqui é paridade de funções e composição de funções.

Passo 2

Definições de paridade:
f é par se, para todo x no domínio,
f(-x) = f(x)
g é ímpar se, para todo x no domínio,
g(-x) = -,g(x)

Passo 3

Calculemos (gcirc f)(-x). Pela definição de composição e pelo fato de f ser par, temos
(gcirc f)(-x) ;=; gl(f(-x)r) ;=; gl(f(x)r)
Para que gcirc f seja ímpar, precisaríamos
(gcirc f)(-x) ;=; -, (gcirc f)(x),
ou seja
gl(f(x)r) ;=;-,gl(f(x)r)

Passo 4

A igualdade acima só ocorre se
gl(f(x)r)=0
para todo x, o que é um caso trivial. Logo, em geral gcirc f não é ímpar.

Passo 5

Contraexemplo concreto:
f(x)=x^2, g(x)=x
Aqui f é par e g é ímpar, mas
(gcirc f)(x)=x^2
é uma função par, não ímpar.

Resposta

A afirmação é falsa. Como contraexemplo, basta tomar f(x)=x^2 e g(x)=x, pois aí gcirc f(x)=x^2 é par.

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