Sejam as funções:
f(x)=\sqrt[x]{2} \quad g(x)=x^{2}-4 x+4 \quad h(x)=2-x \quad k(x)=\left|x^{2}-1\right| \quad m(x)=-x^{2}
Calcule:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=\sqrt[x]{2}=2^{1/x},\qquad g(x)=x^{2}-4x+4=(x-2)^{2},
e pede calcular o limite
\lim_{x\to +\infty}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right].
Ou seja: identificar o comportamento de \,f(x)\, e de \,g(x)\, quando x\to+\infty e então decidir qual é o limite do quociente.

Passo 2

Calcular o limite do numerador \,f(x)=2^{1/x}\, quando x\to+\infty.
Usa-se a escrita exponencial contínua:
2^{1/x}=e^{(1/x)\ln 2}.
Como \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 e a função exponencial é contínua, segue
\lim_{x\to+\infty}2^{1/x}=e^{0}=1.
Portanto o numerador tende a \,1.

Passo 3

Calcular o limite do denominador \,g(x)=(x-2)^{2}\, quando x\to+\infty.
Para x\to+\infty tem-se |x-2|\to+\infty, logo
\lim_{x\to+\infty}(x-2)^{2}=+\infty.
Assim o denominador diverge para +\infty.

Passo 4

Concluir o limite do quociente.
Se o numerador converge para um número finito L (aqui L=1) e o denominador diverge para +\infty, então o quociente tende a 0. Formalmente,
\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1}{+\infty}=0.
Para ver a diferença de ordens (opcional e didático), usa-se a expansão
2^{1/x}=e^{(1/x)\ln 2}=1+\frac{\ln 2}{x}+o\!\left(\frac{1}{x}\right),
logo
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1+\dfrac{\ln 2}{x}+o\!\left(\dfrac{1}{x}\right)}{x^{2}\bigl(1+o(1)\bigr)}\sim\frac{1}{x^{2}}\to 0,
confirmando que o denominador cresce muito mais rápido e força o quociente a zero.

Resposta

0

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