Sejam a \in \mathbb{R} e f(x)=\frac{1}{x^{2}+3}, calcule:
(f(a))^{2}

Passo 1

O enunciado dá que a\in\mathbb{R} e que a função é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+3}. A pergunta é: calcular (f(a))^{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável a é um número real arbitrário.
  • A função f está definida por f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+3}.
  • O que se pede é elevar ao quadrado o valor de f no ponto a, ou seja, computar (f(a))^{2}.

Passo 2

Primeiro passo prático: avaliar f em x=a. Isso significa substituir x por a na expressão de f. Portanto:
f(a)=\frac{1}{a^{2}+3}.
Comentário didático: substituir é só trocar a letra x por a na fórmula. Também é útil notar que a expressão está bem definida para todo a\in\mathbb{R}, porque a^{2}\ge 0 implica a^{2}+3\ge 3>0, então o denominador nunca é zero.

Passo 3

Agora precisamos quadrar f(a). Use a propriedade de potências para frações: para quaisquer números p e q com q\neq0,
\left(\frac{p}{q}\right)^{2}=\frac{p^{2}}{q^{2}}.
No nosso caso p=1 e q=a^{2}+3. Como 1^{2}=1, obtemos
(f(a))^{2}=\left(\frac{1}{a^{2}+3}\right)^{2}=\frac{1}{(a^{2}+3)^{2}}.

Passo 4

Explicação alternativa (útil na prova): usar notação de potências negativas. A fração pode ser escrita como \dfrac{1}{a^{2}+3}=(a^{2}+3)^{-1}. Ao elevar ao quadrado:
\bigl((a^{2}+3)^{-1}\bigr)^{2}=(a^{2}+3)^{-2}=\frac{1}{(a^{2}+3)^{2}}.
As duas formas são equivalentes; escolha a que ficar mais clara para você na hora da prova.

Passo 5

Exemplo numérico para fixar a ideia: se a=2, então f(2)=\dfrac{1}{2^{2}+3}=\dfrac{1}{7} e
(f(2))^{2}=\left(\dfrac{1}{7}\right)^{2}=\dfrac{1}{49},
o que coincide com a fórmula geral \dfrac{1}{(a^{2}+3)^{2}}.

Resposta

\dfrac{1}{(a^{2}+3)^{2}}

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