Sejam
e
. Considere o sistema linear não-homogêneo
e o sistema homogêneo associado
. Prove ou dê contra-exemplo.
(i) Se
tem infinitas soluções, então
tem infinitas soluções.
(i) Se
Passo 1
O enunciado considera
e
, e os sistemas
e
.
Queremos mostrar que se o primeiro sistema tem infinitas soluções, então o segundo também tem infinitas soluções. Usaremos o fato de que a diferença de duas soluções de pertence ao núcleo de
.
Queremos mostrar que se o primeiro sistema tem infinitas soluções, então o segundo também tem infinitas soluções. Usaremos o fato de que a diferença de duas soluções de
Passo 2
Suponha que
tenha infinitas soluções. Então existem pelo menos duas soluções distintas
tais que
tais que
e
. Defina
.
Passo 3
Como
, segue
Além disso,
(pois
). Logo
é uma solução não-trivial de
.
Passo 4
Para qualquer escalar
, temos
Como há infinitos valores de
, obtemos infinitas soluções distintas de
.
Resposta
A afirmação é verdadeira: se
tem infinitas soluções, então
também tem infinitas soluções.