Sejam A in Mm times n(R) e B in Mm times 1(R). Considere o sistema linear não-homogêneo A X=B e o sistema homogêneo associado A X=0. Prove ou dê contra-exemplo.
(i) Se A X=B tem infinitas soluções, então A X=0 tem infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado considera A in Mmtimes n(R) e B in Mmtimes 1(R), e os sistemas
A X = B
e
A X = 0.
Queremos mostrar que se o primeiro sistema tem infinitas soluções, então o segundo também tem infinitas soluções. Usaremos o fato de que a diferença de duas soluções de A X=B pertence ao núcleo de A.

Passo 2

Suponha que A X=B tenha infinitas soluções. Então existem pelo menos duas soluções distintas
X1 neq X2
tais que
A X1=B
e
A X2=B. Defina
v = X1 - X2
.

Passo 3

Como A X1=A X2=B, segue
A,v ;=; A,(X1-X2) ;=; A X1 - A X2 ;=; B - B = 0
Além disso, vneq 0 (pois X1neq X2). Logo v é uma solução não-trivial de A X=0.

Passo 4

Para qualquer escalar lambdainR, temos
A(lambda v) ;=;lambda,A v ;=;lambdacdot 0 = 0
Como há infinitos valores de lambda, obtemos infinitas soluções distintas de A X=0.

Resposta

A afirmação é verdadeira: se A X=B tem infinitas soluções, então A X=0 também tem infinitas soluções.

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