Sejam os n nós de interpolação apresentados na tabela abaixo, determine a função de interpolação :
x f(x)
-1.5 78
-0.5 4
0.5 -6
1.5 48

Passo 1

O enunciado pede: determinar a função de interpolação que passa pelos quatro nós dados na tabela.
Os nós e valores apresentados na tabela (peguei esses dados da tabela) são:
x_0=-1{,}5,\quad f(x_0)=78
x_1=-0{,}5,\quad f(x_1)=4
x_2=0{,}5,\quad f(x_2)=-6
x_3=1{,}5,\quad f(x_3)=48
Então a tarefa é encontrar um polinômio p(x) que satisfaça p(x_i)=f(x_i) para i=0,1,2,3. A resolução começa a partir desses pontos.

Passo 2

Escolha do método: vou usar a fórmula de interpolação de Lagrange porque é direta para montar explicitamente o polinômio que passa por pontos dados. É um método básico, sem necessidade de matrizes, e dá uma forma clara de somar contribuições de cada nó. A fórmula principal é:
p(x)=\sum_{i=0}^{3} f(x_i)\,L_i(x)
onde cada polinômio base L_i(x) é definido por
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\neq i}}^{3}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Aqui x_i são os nós (os valores de x da tabela) e f(x_i) são os valores associados. A ideia: cada L_i(x) vale 1 em x=x_i e 0 em todos os outros nós, então a combinação linear acima reproduz os valores dados.

Passo 3

Calcular explicitamente os L_i(x). Vou montar numerador e denominador para cada i.
Para i=0 com x_0=-1{,}5:
L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)} =\frac{(x+0{,}5)(x-0{,}5)(x-1{,}5)}{(-1{,}5+0{,}5)(-1{,}5-0{,}5)(-1{,}5-1{,}5)}.
Calcular denominador:
(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)=(-1)(-2)(-3)=-6.
Multiplicando os dois primeiros fatores do numerador:
(x+0{,}5)(x-0{,}5)=x^2-0{,}25.
Multiplicando com (x-1{,}5):
(x^2-0{,}25)(x-1{,}5)=x^3-1{,}5x^2-0{,}25x+0{,}375.
Portanto
L_0(x)=\frac{x^3-1{,}5x^2-0{,}25x+0{,}375}{-6} = -\frac{1}{6}x^3+0{,}25x^2+\frac{1}{24}x-\frac{1}{16}.

Passo 4

Para i=1 com x_1=-0{,}5:
L_1(x)=\frac{(x+1{,}5)(x-0{,}5)(x-1{,}5)}{( -0{,}5+1{,}5)(-0{,}5-0{,}5)(-0{,}5-1{,}5)}.
Denominador:
(1)(-1)(-2)=2.
Calcular numerador: primeiro (x-0{,}5)(x-1{,}5)=x^2-2x+0{,}75. Multiplicando por (x+1{,}5):
(x+1{,}5)(x^2-2x+0{,}75)=x^3-0{,}5x^2-2{,}25x+1{,}125.
Logo
L_1(x)=\frac{x^3-0{,}5x^2-2{,}25x+1{,}125}{2} =\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{4}x^2-\frac{9}{8}x+\frac{9}{16}.

Passo 5

Para i=2 com x_2=0{,}5:
L_2(x)=\frac{(x+1{,}5)(x+0{,}5)(x-1{,}5)}{(0{,}5+1{,}5)(0{,}5+0{,}5)(0{,}5-1{,}5)}.
Denominador:
(2)(1)(-1)=-2.
Numerador: (x+1{,}5)(x+0{,}5)=x^2+2x+0{,}75. Multiplicando por (x-1{,}5):
(x^2+2x+0{,}75)(x-1{,}5)=x^3+0{,}5x^2-2{,}25x-1{,}125.
Logo
L_2(x)=\frac{x^3+0{,}5x^2-2{,}25x-1{,}125}{-2} =-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{4}x^2+\frac{9}{8}x+\frac{9}{16}.

Passo 6

Para i=3 com x_3=1{,}5:
L_3(x)=\frac{(x+1{,}5)(x+0{,}5)(x-0{,}5)}{(1{,}5+1{,}5)(1{,}5+0{,}5)(1{,}5-0{,}5)}.
Denominador:
(3)(2)(1)=6.
Numerador: (x+0{,}5)(x-0{,}5)=x^2-0{,}25. Multiplicando por (x+1{,}5):
(x^2-0{,}25)(x+1{,}5)=x^3+1{,}5x^2-0{,}25x-0{,}375.
Logo
L_3(x)=\frac{x^3+1{,}5x^2-0{,}25x-0{,}375}{6} =\frac{1}{6}x^3+0{,}25x^2-\frac{1}{24}x-\frac{1}{16}.

Passo 7

Agora constrói-se p(x)=\sum_{i=0}^3 f(x_i)L_i(x). Substituindo f(x_0)=78, f(x_1)=4, f(x_2)=-6, f(x_3)=48 e os L_i obtidos:
Calculemos termo a termo (faço a soma dos coeficientes por potência de x).
Contribuições em x^3:
78\left(-\tfrac{1}{6}\right)+4\left(\tfrac{1}{2}\right)+(-6)\left(-\tfrac{1}{2}\right)+48\left(\tfrac{1}{6}\right) =-13+2+3+8=0.
Logo o coeficiente de x^3 é 0 (o termo cúbico cancela).
Contribuições em x^2:
78(0{,}25)+4\left(-\tfrac{1}{4}\right)+(-6)\left(-\tfrac{1}{4}\right)+48(0{,}25) =19{,}5-1+1{,}5+12=32.
Portanto coeficiente de x^2 é 32.
Contribuições em x:
78\left(\tfrac{1}{24}\right)+4\left(-\tfrac{9}{8}\right)+(-6)\left(\tfrac{9}{8}\right)+48\left(-\tfrac{1}{24}\right) =3{,}25-4{,}5-6{,}75-2=-10.
Coeficiente de x é -10.
Contribuições constantes:
78\left(-\tfrac{1}{16}\right)+4\left(\tfrac{9}{16}\right)+(-6)\left(\tfrac{9}{16}\right)+48\left(-\tfrac{1}{16}\right) =-4{,}875+2{,}25-3{,}375-3=-9.
Constante é -9.

Passo 8

Portanto o polinômio interpolador obtido (ao somar todas as contribuições) é o polinômio quadrático
p(x)=32x^{2}-10x-9.
Verificação rápida em cada nó (só para ficar tranquilo): em x=-1{,}5 32(2{,}25)-10(-1{,}5)-9=72+15-9=78 (confere); em x=-0{,}5 8+5-9=4 (confere); em x=0{,}5 8-5-9=-6 (confere); em x=1{,}5 72-15-9=48 (confere). Beleza — todos os pontos batem.

Resposta

p(x)=32x^{2}-10x-9

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