Sejam os n nós de interpolação apresentados na tabela abaixo, determine a função de interpolação :
| x | f(x) |
|---|---|
| -1.5 | 78 |
| -0.5 | 4 |
| 0.5 | -6 |
| 1.5 | 48 |
Passo 1
O enunciado pede: determinar a função de interpolação que passa pelos quatro nós dados na tabela.
Os nós e valores apresentados na tabela (peguei esses dados da tabela) são:
Os nós e valores apresentados na tabela (peguei esses dados da tabela) são:
Então a tarefa é encontrar um polinômio
que satisfaça
para
. A resolução começa a partir desses pontos.
Passo 2
Escolha do método: vou usar a fórmula de interpolação de Lagrange porque é direta para montar explicitamente o polinômio que passa por pontos dados. É um método básico, sem necessidade de matrizes, e dá uma forma clara de somar contribuições de cada nó. A fórmula principal é:
onde cada polinômio base
é definido por
Aqui
são os nós (os valores de
da tabela) e
são os valores associados. A ideia: cada
vale
em
e
em todos os outros nós, então a combinação linear acima reproduz os valores dados.
Passo 3
Calcular explicitamente os
. Vou montar numerador e denominador para cada
.
Para
com
:
Calcular denominador:
Multiplicando os dois primeiros fatores do numerador:
Multiplicando com
:
Portanto
Passo 4
Para
com
:
Denominador:
Calcular numerador: primeiro
. Multiplicando por
:
Logo
Passo 5
Para
com
:
Denominador:
Numerador:
. Multiplicando por
:
Logo
Passo 6
Para
com
:
Denominador:
Numerador:
. Multiplicando por
:
Logo
Passo 7
Agora constrói-se
. Substituindo
,
,
,
e os
obtidos:
Calculemos termo a termo (faço a soma dos coeficientes por potência de
).
Contribuições em
:
Logo o coeficiente de
é
(o termo cúbico cancela).
Contribuições em
:
Portanto coeficiente de
é
.
Contribuições em
:
Coeficiente de
é
.
Contribuições constantes:
Constante é
.
Passo 8
Portanto o polinômio interpolador obtido (ao somar todas as contribuições) é o polinômio quadrático
Verificação rápida em cada nó (só para ficar tranquilo): em
dá
(confere); em
dá
(confere); em
dá
(confere); em
dá
(confere). Beleza — todos os pontos batem.