Obtenha o termo geral da série de Taylor da função f abaixo. Sugestão: Complete os quadrados no denominador e use a série geométrica sem derivar.
\begin{aligned} f(x) & =\frac{3}{x^{2}+x-2} \\\ \mathrm{R}: f(x) & =-\sum_{n=0}^{\infty} 2^{2 n+2}(x+1 / 2)^{2 n} / 3^{2 n+1} ; x \in(-2,1) \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede: obter o termo geral da série de Taylor da função
f(x)=\frac{3}{x^{2}+x-2}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • Sugestão: complete o quadrado no denominador e use a série geométrica sem derivar.
  • A solução deve ser uma série em potências de (x+1/2) (o enunciado já sugere essa centralização).
  • O enunciado indica o resultado final esperado e o intervalo de validade: \;x\in(-2,1).

Passo 2

Vamos completar o quadrado no denominador para centralizar em x=-\tfrac{1}{2}. Calcule:
x^{2}+x-2 = \left(x+\tfrac{1}{2}\right)^{2} - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2} -2.
Agora simplificando os termos constantes:
\left(x+\tfrac{1}{2}\right)^{2} - \tfrac{1}{4} -2 = \left(x+\tfrac{1}{2}\right)^{2} - \tfrac{9}{4}.
Portanto
x^{2}+x-2 = \left(x+\tfrac{1}{2}\right)^{2} - \left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}.

Passo 3

Substituímos na função usando u:=x+\tfrac{1}{2} (isso só simplifica a escrita; depois voltamos para x):
f(x)=\frac{3}{u^{2} - \left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}}.
Colocando em forma convenientemente manipulável:
f(x) = -\frac{3}{\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2} - u^{2}} = -\frac{3}{\tfrac{9}{4}\left(1 - \dfrac{4}{9}u^{2}\right)}.
Agora fatorando \tfrac{9}{4}:
f(x) = -\frac{3}{\tfrac{9}{4}}\cdot\frac{1}{1 - \dfrac{4}{9}u^{2}} = -\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{1 - \dfrac{4}{9}u^{2}}.

Passo 4

Recorde a série geométrica e sua condição de convergência: para |r|<1,
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}.
Aqui podemos aplicar com r=\dfrac{4}{9}u^{2}. A condição de convergência será \left|\dfrac{4}{9}u^{2}\right|<1, que trataremos depois.

Passo 5

Aplicando a série geométrica ao fator \dfrac{1}{1-\tfrac{4}{9}u^{2}} obtemos
\frac{1}{1 - \dfrac{4}{9}u^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{4}{9}u^{2}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{4}{9}\right)^{n}u^{2n}.
Multiplicando pelo fator -\dfrac{4}{3} já obtido:
f(x) = -\frac{4}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{4}{9}\right)^{n}u^{2n}.
Lembre que u=x+\tfrac{1}{2}. Observação: a série contém apenas potências pares de u, isto é, apenas (x+\tfrac{1}{2})^{2n}.

Passo 6

Agora simplificamos o coeficiente geral. Começamos com
-\frac{4}{3}\left(\dfrac{4}{9}\right)^{n} = -\frac{4}{3}\cdot\frac{4^{n}}{9^{n}}.
Combine potências:
-\frac{4}{3}\cdot\frac{4^{n}}{9^{n}} = -\frac{4^{n+1}}{3\cdot 9^{n}} = -\frac{4^{n+1}}{3\cdot 3^{2n}} = -\frac{4^{n+1}}{3^{2n+1}}.
Escrevendo 4^{n+1} como potência de 2:
4^{n+1}=(2^{2})^{n+1}=2^{2n+2}.
Portanto o coeficiente fica
-\frac{2^{2n+2}}{3^{2n+1}}.

Passo 7

Juntando tudo, a série (em u=x+\tfrac{1}{2}) tem termo geral
\text{termo geral} = -\frac{2^{2n+2}}{3^{2n+1}}\,\left(x+\tfrac{1}{2}\right)^{2n},\qquad n=0,1,2,\dots
Agora a condição de convergência: precisamos de \left|\dfrac{4}{9}u^{2}\right|<1, ou seja
|u|^{2} < \frac{9}{4}\quad\Longrightarrow\quad |u|<\frac{3}{2}.
Voltando para x:
\left|x+\tfrac{1}{2}\right|<\tfrac{3}{2}\quad\Longrightarrow\quad x\in\left(-2,\,1\right).
Os extremos x=-2 e x=1 dão |u|=\tfrac{3}{2} e fazem |r|=1, portanto a série geométrica não converge nesses pontos; por isso o intervalo é aberto.

Resposta

f(x)=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{2n+2}}{3^{2n+1}}\left(x+\tfrac{1}{2}\right)^{2n}
x\in(-2,1)

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