Obtenha o termo geral da série de Taylor da função
abaixo. Sugestão: Complete os quadrados no denominador e use a série geométrica sem derivar.
Passo 1
O que o enunciado pede: obter o termo geral da série de Taylor da função
Informações relevantes dadas no enunciado:
- Sugestão: complete o quadrado no denominador e use a série geométrica sem derivar.
- A solução deve ser uma série em potências de
(o enunciado já sugere essa centralização). - O enunciado indica o resultado final esperado e o intervalo de validade:
.
Passo 2
Vamos completar o quadrado no denominador para centralizar em
. Calcule:
Agora simplificando os termos constantes:
Portanto
Passo 3
Substituímos na função usando
(isso só simplifica a escrita; depois voltamos para
):
Colocando em forma convenientemente manipulável:
Agora fatorando
:
Passo 4
Recorde a série geométrica e sua condição de convergência: para
,
Aqui podemos aplicar com
. A condição de convergência será
, que trataremos depois.
Passo 5
Aplicando a série geométrica ao fator
obtemos
Multiplicando pelo fator
já obtido:
Lembre que
. Observação: a série contém apenas potências pares de
, isto é, apenas
.
Passo 6
Agora simplificamos o coeficiente geral. Começamos com
Combine potências:
Escrevendo
como potência de
:
Portanto o coeficiente fica
Passo 7
Juntando tudo, a série (em
) tem termo geral
Agora a condição de convergência: precisamos de
, ou seja
Voltando para
:
Os extremos
e
dão
e fazem
, portanto a série geométrica não converge nesses pontos; por isso o intervalo é aberto.