Sejam os n nós de interpolação apresentados na tabela abaixo, determine a função de interpolação :
x f(x)
-2 32
-1 10
1 -10
2 -8

Passo 1

O enunciado dá quatro nós de interpolação e pede a função polinomial que passa por todos eles. Os pontos fornecidos são:
(-2,\,32),\quad (-1,\,10),\quad (1,\,-10),\quad (2,\,-8).

Passo 2

Vou usar a forma de Lagrange para interpolação polinomial — é direta e ótima para aprender passo a passo. A fórmula de Lagrange para o polinômio interpolador p(x) que passa por n pontos (x_i,y_i) é
p(x)=\sum_{i=0}^{n-1} y_i\,\ell_i(x),
onde cada polinômio base \ell_i(x) é dado por
\ell_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\neq i}}^{n-1}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Aqui x_i e x_j são as abscissas dos nós e y_i=f(x_i) é o valor no nó. A ideia: cada \ell_i(x) vale 1 em x=x_i e 0 em todos os outros x_j, então p(x_i)=y_i.

Passo 3

Vou calcular cada \ell_i(x) para os nós dados. Enumero-os como x_0=-2,\;y_0=32; x_1=-1,\;y_1=10; x_2=1,\;y_2=-10; x_3=2,\;y_3=-8.
Para i=0 (isto é, x_0=-2):
\ell_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)} =\frac{(x+1)(x-1)(x-2)}{(-1)(-3)(-4)}=\frac{(x+1)(x-1)(x-2)}{-12}.
Para i=1 (isto é, x_1=-1):
\ell_1(x)=\frac{(x+2)(x-1)(x-2)}{(1)(-2)(-3)}=\frac{(x+2)(x-1)(x-2)}{6}.
Para i=2 (isto é, x_2=1):
\ell_2(x)=\frac{(x+2)(x+1)(x-2)}{(3)(2)(-1)}=\frac{(x+2)(x+1)(x-2)}{-6}.
Para i=3 (isto é, x_3=2):
\ell_3(x)=\frac{(x+2)(x+1)(x-1)}{(4)(3)(1)}=\frac{(x+2)(x+1)(x-1)}{12}.

Passo 4

Agora multiplico cada \ell_i(x) por y_i para obter os termos de p(x):
\begin{aligned} T_0 &= y_0\,\ell_0(x)=32\cdot\frac{(x+1)(x-1)(x-2)}{-12}=-\frac{8}{3}(x+1)(x-1)(x-2),\\[4pt] T_1 &= y_1\,\ell_1(x)=10\cdot\frac{(x+2)(x-1)(x-2)}{6}=\frac{5}{3}(x+2)(x-1)(x-2),\\[4pt] T_2 &= y_2\,\ell_2(x)=-10\cdot\frac{(x+2)(x+1)(x-2)}{-6}=\frac{5}{3}(x+2)(x+1)(x-2),\\[4pt] T_3 &= y_3\,\ell_3(x)=-8\cdot\frac{(x+2)(x+1)(x-1)}{12}=-\frac{2}{3}(x+2)(x+1)(x-1). \end{aligned}
Portanto
p(x)=T_0+T_1+T_2+T_3.]

Passo 5

Agora vou expandir cada produto cúbico dentro dos T_i para somá-los com facilidade.
Calculo primeiro as formas cúbicas:
(x+1)(x-1)(x-2) = (x^2-1)(x-2)=x^3-2x^2-x+2.
(x+2)(x-1)(x-2) = (x^2-3x+2)(x+2)=x^3-x^2-4x+4.
(x+2)(x+1)(x-2) = (x^2+3x+2)(x-2)=x^3+x^2-4x-4.
(x+2)(x+1)(x-1) = (x^2-1)(x+2)=x^3+2x^2-x-2.

Passo 6

Multiplico cada expansão pelos coeficientes já obtidos:
Para T_0:
T_0=-\frac{8}{3}\bigl(x^3-2x^2-x+2\bigr)=-\frac{8}{3}x^3+\frac{16}{3}x^2+\frac{8}{3}x-\frac{16}{3}.
Para T_1:
T_1=\frac{5}{3}\bigl(x^3-x^2-4x+4\bigr)=\frac{5}{3}x^3-\frac{5}{3}x^2-\frac{20}{3}x+\frac{20}{3}.
Para T_2:
T_2=\frac{5}{3}\bigl(x^3+x^2-4x-4\bigr)=\frac{5}{3}x^3+\frac{5}{3}x^2-\frac{20}{3}x-\frac{20}{3}.
Para T_3:
T_3=-\frac{2}{3}\bigl(x^3+2x^2-x-2\bigr)=-\frac{2}{3}x^3-\frac{4}{3}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}.

Passo 7

Agora somo os termos correspondentes em x^3, x^2, x e constantes:
Coeficiente de x^3:
-\frac{8}{3}+\frac{5}{3}+\frac{5}{3}-\frac{2}{3}=\frac{-8+5+5-2}{3}=0.
Coeficiente de x^2:
\frac{16}{3}-\frac{5}{3}+\frac{5}{3}-\frac{4}{3}=\frac{16-5+5-4}{3}=\frac{12}{3}=4.
Coeficiente de x:
\frac{8}{3}-\frac{20}{3}-\frac{20}{3}+\frac{2}{3}=\frac{8-20-20+2}{3}=\frac{-30}{3}=-10.
Constante:
-\frac{16}{3}+\frac{20}{3}-\frac{20}{3}+\frac{4}{3}=\frac{-16+20-20+4}{3}=\frac{-12}{3}=-4.
Assim o polinômio somado fica
p(x)=4x^2-10x-4.

Passo 8

Uma observação útil (conforta quando a prova é curta): embora tivéssemos quatro pontos (poderíamos ter um polinômio de grau até 3), os coeficientes de x^3 cancelaram e o polinômio interpolador é um quadrático. Vou verificar rapidamente em dois pontos para garantir consistência:
Para x=-2: 4(-2)^2-10(-2)-4=4\cdot4+20-4=16+20-4=32 — bate.
Para x=1: 4(1)^2-10(1)-4=4-10-4=-10 — bate.
Tudo confere com a tabela dada.

Resposta

p(x)=4x^{2}-10x-4

Exercícios relacionados