Sejam os n nós de interpolação apresentados na tabela abaixo, determine a função de interpolação :
| x | f(x) |
|---|---|
| -2 | 32 |
| -1 | 10 |
| 1 | -10 |
| 2 | -8 |
Passo 1
O enunciado dá quatro nós de interpolação e pede a função polinomial que passa por todos eles. Os pontos fornecidos são:
Passo 2
Vou usar a forma de Lagrange para interpolação polinomial — é direta e ótima para aprender passo a passo. A fórmula de Lagrange para o polinômio interpolador
que passa por
pontos
é
onde cada polinômio base
é dado por
Aqui
e
são as abscissas dos nós e
é o valor no nó. A ideia: cada
vale
em
e
em todos os outros
, então
.
Passo 3
Vou calcular cada
para os nós dados. Enumero-os como
;
;
;
.
Para
(isto é,
):
Para
(isto é,
):
Para
(isto é,
):
Para
(isto é,
):
Passo 4
Agora multiplico cada
por
para obter os termos de
:
Portanto
Passo 5
Agora vou expandir cada produto cúbico dentro dos
para somá-los com facilidade.
Calculo primeiro as formas cúbicas:
Passo 6
Multiplico cada expansão pelos coeficientes já obtidos:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora somo os termos correspondentes em
,
,
e constantes:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Constante:
Assim o polinômio somado fica
Passo 8
Uma observação útil (conforta quando a prova é curta): embora tivéssemos quatro pontos (poderíamos ter um polinômio de grau até
), os coeficientes de
cancelaram e o polinômio interpolador é um quadrático. Vou verificar rapidamente em dois pontos para garantir consistência:
Para
:
— bate.
Para :
— bate.
Para
Tudo confere com a tabela dada.