Verifique, em caso, se B é a matriz inversa de A :
A=[ll2 & 3 1 & 6] e B=[rr2 / 3 & -1 / 3 -1 / 9 & 2 / 9]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se B é a inversa de A. Na teoria de matrizes, dizemos que B é a inversa de A exatamente quando
AB = BA = I2,
onde I2 é a matriz identidade de ordem 2. Para isso, vamos calcular AB e BA e conferir se ambas dão I2.

Passo 2

Calcular o produto AB. Usando a definição de multiplicação de matrizes 2times 2, temos
AB = 2 & 3 1 & 6 tfrac23 & -tfrac13 -tfrac19 & tfrac29 = 2cdottfrac23 + 3cdotl(-tfrac19r) & 2cdotl(-tfrac13r) + 3cdottfrac29 [8pt] 1cdottfrac23 + 6cdotl(-tfrac19r) & 1cdotl(-tfrac13r) + 6cdottfrac29
Agora cada entrada:
2cdottfrac23 + 3cdotl(-tfrac19r) = tfrac43 - tfrac39 = tfrac43 - tfrac13 = 1,
2cdotl(-tfrac13r) + 3cdottfrac29 = -tfrac23 + tfrac69 = -tfrac23 + tfrac23 = 0,
1cdottfrac23 + 6cdotl(-tfrac19r) = tfrac23 - tfrac69 = tfrac23 - tfrac23 = 0,
1cdotl(-tfrac13r) + 6cdottfrac29 = -tfrac13 + tfrac129 = -tfrac13 + tfrac43 = 1
Portanto
AB = 1 & 0 [4pt] 0 & 1 = I2 ]

Passo 3

Calcular o produto BA para confirmar a igualdade também na ordem inversa:
BA = tfrac23 & -tfrac13 [4pt] -tfrac19 & tfrac29 2 & 3 [6pt] 1 & 6 = tfrac23cdot 2 + l(-tfrac13r)cdot 1 & tfrac23cdot 3 + l(-tfrac13r)cdot 6 [8pt] -tfrac19cdot 2 + tfrac29cdot 1 & -tfrac19cdot 3 + tfrac29cdot 6
Calculando cada entrada:
tfrac43 - tfrac13 = 1, 2 - 2 = 0, -tfrac29 + tfrac29 = 0, -tfrac39 + tfrac129 = 1
Logo
BA = 1 & 0 [4pt] 0 & 1 = I2 ]

Resposta

Como obtivemos AB = BA = I2, concluímos que B é, de fato, a matriz inversa de A.

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