Sejam K=caplambda in L Klambda a interseção de uma família de compactos no espaço métrico M e U um aberto que contém K. Prove que existem lambda1, ldots, lambdan in L tais que Klambda1 cap ldots cap Klambdan subset U. Se a família (Klambda)lambda in L for uma cadeia (para todo
lambda, mu in L, temos Klambda subset Kmu ou Kmu subset Klambda ), então K subset U implica que Klambda subset U para algum lambda. Se K1 supset K2 supset ldots e capn=1^infty Kn subset U, então existe n0 tal que n>n0 implica que Kn subset U.

Passo 1

Resumo do enunciado. Temos uma família Klambdalambdain L de subconjuntos compactos de um espaço métrico M e definimos
K=caplambdain LKlambda
Dado um aberto Usubset M que contém K, devemos provar que existe um subíndice finito lambda1,dots,lambdan em L tal que
Klambda1capcdotscap Klambdan;subset;U
Em seguida, mostraremos que, se a família é uma cadeia (ou seja, dados lambda,mu um dos Klambdasubset Kmu vale), então Ksubset U implica Klambdasubset U para algum lambda. Finalmente, no caso de sequência decrescente K1supset K2supsetcdots com capnKnsubset U, provaremos que existe n0 tal que para todo n>= n0 vale Knsubset U.

Passo 2

Prova da versão geral via propriedade de interseção finita em um compacto.
1. Escolha um índice arbitrário lambda0in L. Então Klambda0 é compacto e contém K.
2. Em Klambda0 considere os conjuntos fechados
F0=Klambda0cap (Msetminus U), Flambda=Klambda0cap Klambda (lambdain L)
Note que
caplambdain LFlambda =Klambda0capl(caplambdain LKlambdar) =Klambda0cap K =Ksubset U Longrightarrow l(caplambdain LFlambdar)cap F0 =emptyset
3. Como Klambda0 é compacto e F0cupFlambda:lambdain L é família de fechados em Klambda0 cuja interseção total é vazia, a propriedade de interseção finita garante que existem índices lambda1,dots,lambdan tais que
F0;cap;Flambda1;capcdotscap;Flambdan =emptyset
4. Dessa igualdade segue
l(Klambda0cap(Msetminus U)r) cap l(Klambda0cap Klambda1r) capcdotscap l(Klambda0cap Klambdanr) =emptyset,
ou seja
l(Klambda0cap Klambda1capcdotscap Klambdanr) ;subset;U
Basta então renomear lambda0,lambda1,dots,lambdan como lambda1,dots,lambdan+1 para obter a interseção de n+1 índices contida em U. Isso conclui a primeira parte.

Passo 3

Caso da família em cadeia. Se Klambda é uma cadeia por inclusão, então de índices lambda1,dots,lambdan extraídos no passo anterior a interseção
Klambda1capcdotscap Klambdan
é exatamente o menor (ou seja, aquele contido em todos). Logo existe lambda entre lambda1,dots,lambdan tal que
Klambda =Klambda1capcdotscap Klambdan ;subset;U

Passo 4

Caso da sequência decrescente. Se K1supset K2supsetcdots e capn=1^inftyKnsubset U, aplicamos o passo 2 para obter índices n1,dots,nk tais que
Kn1capcdotscap Knksubset U
Como a sequência é decrescente, essa interseção finita é simplesmente
Kmaxn1,dots,nk ;subset;U
Seja n0=maxn1,dots,nk. Então para todo n>= n0 vale
Kn;subset;Kn0;subset;U

Resposta

– Existem lambda1,dots,lambdan tais que
Klambda1capcdotscap Klambdansubset U.
– Se Klambda é cadeia e Ksubset U, então existe lambda com Klambdasubset U.
– Se K1supset K2supsetcdots e capnKnsubset U, então existe n0 tal que para todo n>= n0 temos Knsubset U.

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