Sejam
a interseção de uma família de compactos no espaço métrico
e
um aberto que contém
. Prove que existem
tais que
. Se a família
for uma cadeia (para todo
, temos
ou
), então
implica que
para algum
. Se
e
, então existe
tal que
implica que
.
Passo 1
Resumo do enunciado. Temos uma família
de subconjuntos compactos de um espaço métrico
e definimos
Dado um aberto
que contém
, devemos provar que existe um subíndice finito
em
tal que
Em seguida, mostraremos que, se a família é uma cadeia (ou seja, dados
um dos
vale), então
implica
para algum
. Finalmente, no caso de sequência decrescente
com
, provaremos que existe
tal que para todo
vale
.
Passo 2
Prova da versão geral via propriedade de interseção finita em um compacto.
. Escolha um índice arbitrário
. Então
é compacto e contém
.
. Em
considere os conjuntos fechados
Note que
ou seja
Basta então renomear
como
para obter a interseção de
índices contida em
. Isso conclui a primeira parte.
Passo 3
Caso da família em cadeia. Se
é uma cadeia por inclusão, então de índices
extraídos no passo anterior a interseção
é exatamente o menor (ou seja, aquele contido em todos). Logo existe entre
tal que
é exatamente o menor (ou seja, aquele contido em todos). Logo existe
Passo 4
Caso da sequência decrescente. Se
e
, aplicamos o passo
para obter índices
tais que
Como a sequência é decrescente, essa interseção finita é simplesmente
Seja
. Então para todo
vale
Resposta
– Existem
tais que
.
– Se é cadeia e
, então existe
com
.
– Se e
, então existe
tal que para todo
temos
.
– Se
– Se