Sejam
um corpo e
o operador dado por
. Prove que
é um isomorfismo e exiba
.
Passo 1
O enunciado define o operador linear
O objetivo é mostrar que
é um isomorfismo (isto é, linear bijetivo) e encontrar explicitamente
.
Passo 2
Verificamos linearidade de
. Para
e
:
Logo,
é linear.
Passo 3
Mostramos que
é injetiva. Se
então
Da segunda equação
, e da primeira segue
. Assim o único vetor no núcleo é o zero, o que implica injetividade. Como o domínio e o contradomínio têm mesma dimensão finita, injetividade basta para concluir que
é bijetivo e, portanto, um isomorfismo.
Passo 4
Para achar
, dado
temos
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira,
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