Sejam K um corpo e T: K^2 longrightarrow K^2 o operador dado por T(x1, x2)=(x1+x2, x1), forall(x1, x2) in K^2. Prove que T é um isomorfismo e exiba T^-1.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon K^2 to K^2, T(x1,x2) = (x1 + x2,;x1)
O objetivo é mostrar que T é um isomorfismo (isto é, linear bijetivo) e encontrar explicitamente T^-1.

Passo 2

Verificamos linearidade de T. Para (x1,x2),(y1,y2)inK^2 e alphainK:
Tl((x1,x2)+(y1,y2)r) = T(x1+y1,;x2+y2) = l((x1+y1)+(x2+y2),,x1+y1r)
= (x1+x2,;x1)+(y1+y2,;y1) = T(x1,x2)+T(y1,y2),
Tl(alpha(x1,x2)r) = T(alpha x1,alpha x2) = (alpha x1+alpha x2,;alpha x1) = alpha,(x1+x2,;x1) = alpha,T(x1,x2)
Logo, T é linear.

Passo 3

Mostramos que T é injetiva. Se
T(x1,x2) = (0,0),
então
x1 + x2 = 0 e x1 = 0
Da segunda equação x1=0, e da primeira segue x2=0. Assim o único vetor no núcleo é o zero, o que implica injetividade. Como o domínio e o contradomínio têm mesma dimensão finita, injetividade basta para concluir que T é bijetivo e, portanto, um isomorfismo.

Passo 4

Para achar T^-1, dado (y1,y2)=T(x1,x2) temos
y1 = x1 + x2, y2 = x1
Da segunda equação vem x1 = y2. Substituindo na primeira,
y1 = y2 + x2 ;Longrightarrow; x2 = y1 - y2
Logo
T^-1(y1,y2) = (x1,x2) = l(y2,;y1 - y2r)

Resposta

T^-1colon K^2 to K^2, T^-1(y1,y2) = l(y2,;y1 - y2r)

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