Sejam U, V espaços vetoriais sobre K e T: U longrightarrow V uma transformação linear.
(a) Prove que T é injetora Long<=ftrightarrow T leva cada subconjunto l.i. de U em um subconjunto l.i. de V.
(b) Prove que se o conjunto T(u1), cdots, T(ur) for l.i. em V, então u1, cdots, ur é l.i. em U.
Sejam V um espaço vetorial sobre K e T: V V uma transformação linear. Prove que as seguintes condições são equivalentes:
(a) Nuc T cap Im T=0.
(b) Se(T circ T)(v)=0 para v in V, então T(v)=0.

Passo 1

O enunciado tem duas partes principais.
1. Seja Tcolon Uto V linear.
(a) Mostrar que T é injetora se, e somente se, leva qualquer subconjunto linearmente independente de U em um subconjunto linearmente independente de V.
(b) Mostrar que, para vetores u1,dots,urin U, se T(u1),dots,T(ur) é l.i. em V então u1,dots,ur é l.i. em U.
2. Seja Tcolon Vto V linear. Provar que as afirmações a seguir são equivalentes:
(i) ker TcapIm T=0.
(ii) Se (Tcirc T)(v)=0 então T(v)=0.
Conteúdo usado: definições de injetividade, núcleo, imagem e independência linear; uso de contradição e propriedades de transformações lineares.

Passo 2

Prova de “ T injetora implies preserva l.i.”.
Suponha T injetora e seja S=u1,dots,ursubset U linearmente independente.
Seja uma combinação linear em V igual a zero:
alpha1T(u1)+cdots+alpharT(ur)=0
Pela linearidade de T, isto é
T(alpha1u1+cdots+alpharur)=0
Como T é injetora, seu núcleo é 0, logo
alpha1u1+cdots+alpharur=0
Pela independência de S, todos os alphai são zero. Concluímos que T(u1),dots,T(ur) é l.i.

Passo 3

Prova de “preserva l.i. implies T injetora”.
Suponha que T leva todo conjunto l.i. em conjunto l.i. Para ver que T é injetora basta mostrar ker T=0.
Seja uinker T, então T(u)=0. O conjunto u em U poderia ser l.i. somente se uneq0, mas sua imagem é 0, que é linearmente dependente. Como T preserva independência, a hipótese de u ser l.i. levaria a contradição a menos de u=0. Logo ker T=0 e T é injetora.

Passo 4

Prova do item (b).
Suponha T(u1),dots,T(ur) l.i. em V. Se
alpha1u1+cdots+alpharur=0,
aplicando T obtemos
alpha1T(u1)+cdots+alpharT(ur)=0
Pela independência dos T(ui), todos os alphai são zero. Logo u1,dots,ur é l.i.

Passo 5

Prova de “ ker TcapIm T=0implies se T(T(v))=0 então T(v)=0”.
Suponha ker TcapIm T=0 e seja vin V com
(Tcirc T)(v)=Tl(T(v)r)=0
Então T(v)inker T. Por definição de imagem, T(v)inIm T. Assim T(v)inker TcapIm T, que por hipótese é 0. Logo T(v)=0.

Passo 6

Prova de “se T(T(v))=0 então T(v)=0 implies ker TcapIm T=0”.
Seja winker TcapIm T. Então T(w)=0 e existe v tal que w=T(v). Logo
(Tcirc T)(v)=T(w)=0,
pela condição dada, segue T(v)=0, ou seja w=0. Concluímos que ker TcapIm T=0.

Resposta

Com isso mostramos:
(a) T é injetora se, e somente se, leva todo subconjunto l.i. de U em um subconjunto l.i. de V.
(b) Se T(u1),dots,T(ur) é l.i. em V, então u1,dots,ur é l.i. em U.
(c) Para Tcolon Vto V, vale
ker TcapIm T=0 Long<=ftrightarrow l[T(T(v))=0implies T(v)=0r]

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