Sejam
espaços vetoriais sobre
e
uma transformação linear.
(a) Prove que
é injetora
leva cada subconjunto l.i. de
em um subconjunto l.i. de
.
(b) Prove que se o conjunto
for l.i. em
, então
é l.i. em
.
Sejam
um espaço vetorial sobre
e
uma transformação linear. Prove que as seguintes condições são equivalentes:
(a) Nuc
.
(b)
para
, então
.
(a) Prove que
(b) Prove que se o conjunto
(a) Nuc
(b)
Passo 1
O enunciado tem duas partes principais.
. Seja
linear.
(a) Mostrar que é injetora se, e somente se, leva qualquer subconjunto linearmente independente de
em um subconjunto linearmente independente de
.
(b) Mostrar que, para vetores , se
é l.i. em
então
é l.i. em
.
. Seja
linear. Provar que as afirmações a seguir são equivalentes:
(i) .
(ii) Se então
.
(a) Mostrar que
(b) Mostrar que, para vetores
(i)
(ii) Se
Conteúdo usado: definições de injetividade, núcleo, imagem e independência linear; uso de contradição e propriedades de transformações lineares.
Passo 2
Prova de “
injetora
preserva l.i.”.
Suponha injetora e seja
linearmente independente.
Seja uma combinação linear em igual a zero:
Suponha
Seja uma combinação linear em
Pela linearidade de
, isto é
Como
é injetora, seu núcleo é
, logo
Pela independência de
, todos os
são zero. Concluímos que
é l.i.
Passo 3
Prova de “preserva l.i.
injetora”.
Suponha que leva todo conjunto l.i. em conjunto l.i. Para ver que
é injetora basta mostrar
.
Seja , então
. O conjunto
em
poderia ser l.i. somente se
, mas sua imagem é
, que é linearmente dependente. Como
preserva independência, a hipótese de
ser l.i. levaria a contradição a menos de
. Logo
e
é injetora.
Suponha que
Seja
Passo 4
Prova do item (b).
Suponha l.i. em
. Se
Suponha
aplicando
obtemos
Pela independência dos
, todos os
são zero. Logo
é l.i.
Passo 5
Prova de “
se
então
”.
Suponha e seja
com
Suponha
Então
. Por definição de imagem,
. Assim
, que por hipótese é
. Logo
.
Passo 6
Prova de “se
então
”.
Seja . Então
e existe
tal que
. Logo
Seja
pela condição dada, segue
, ou seja
. Concluímos que
.
Resposta
Com isso mostramos:
(a) é injetora se, e somente se, leva todo subconjunto l.i. de
em um subconjunto l.i. de
.
(b) Se é l.i. em
, então
é l.i. em
.
(c) Para , vale
(a)
(b) Se
(c) Para