Sejam X1, X2, ldots, Xn variáveis aleatórias iid, com distribuição N(mu, sigma^2). Para cada uma das quantidades abaixo, detalhando passo a passo, identifique sua distribuição, média, variância e graus de liberdade quando for o caso.
Zraizchi(n-1)^2n-1;

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos T ;=;Zraiztfracchi^2(n-1),n-1,,, iid de uma normal e pede para, para a expressão
identificar a distribuição dela, a média, a variância e, quando couber, os graus de liberdade.
Conteúdo necessário:
  • Noção de variável .
  • Noção de com graus de liberdade.
  • Definição e propriedades da -Student.
  • Independência entre e .
A partir do próximo passo, vamos montar a explicação de fato.

Passo 2

Primeiro, sabemos que
Z ;=;bar X - musigma/raizn
é normal padrão, ou seja
Z ;sim; N(0,1)
Aqui usamos que a média amostral de normais é normal e ao centralizar em e dividir pelo desvio padrão vira .

Passo 3

Também é padrão que
chi^2(n-1) ;=;1sigma^2sumi=1^n (Xi - bar X)^2
segue uma distribuição qui‐quadrado com graus de liberdade. Além disso, um teorema clássico diz que e são independentes.

Passo 4

Quando pegamos justamente
T ;=;Zraizchi^2(n-1)/(n-1),
estamos usando a definição de uma variável T ;sim; t,n-1 -Student com graus de liberdade. Então por definição

Passo 5

Só nos resta lembrar das propriedades da -Student:
  • Média: , desde que .
  • Variância: , desde que .
  • Graus de liberdade: .

Resposta

A variável
Zraizchi^2(n-1)/(n-1)
segue a distribuição -Student com graus de liberdade, tem média , variância (para ) e graus de liberdade.

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