Sejam
variáveis aleatórias iid, com distribuição
. Para cada uma das quantidades abaixo, detalhando passo a passo, identifique sua distribuição, média, variância e graus de liberdade quando for o caso.
;
Passo 1
Beleza, a questão diz que temos
iid de uma normal
e pede para, para a expressão
identificar a distribuição dela, a média, a variância e, quando couber, os graus de liberdade.
Conteúdo necessário:
Conteúdo necessário:
- Noção de variável
. - Noção de
com graus de liberdade. - Definição e propriedades da
-Student. - Independência entre
e .
A partir do próximo passo, vamos montar a explicação de fato.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
é normal padrão, ou seja
Aqui usamos que a média amostral
de normais é normal e ao centralizar em
e dividir pelo desvio padrão
vira
.
Passo 3
Também é padrão que
segue uma distribuição qui‐quadrado com
graus de liberdade. Além disso, um teorema clássico diz que
e
são independentes.
Passo 4
Quando pegamos justamente
estamos usando a definição de uma variável
-Student com
graus de liberdade. Então por definição
Passo 5
Só nos resta lembrar das propriedades da
-Student:
- Média:
, desde que . - Variância:
, desde que . - Graus de liberdade:
.
Resposta
A variável
segue a distribuição
-Student com
graus de liberdade, tem média
, variância
(para
) e
graus de liberdade.