Sejam
e
duas sequências de números reais. Verifique se cada um dos itens abaixo é verdadeiro ou falso. Se ele for verdadeiro, justifique. Se ser falso, exiba um contraexemplo.
Se
for convergente, então
e
são convergentes.
Se
Passo 1
O enunciado trata de duas sequências
e
de números reais e pergunta se, a partir da convergência de
, segue necessariamente que
e
sejam convergentes. O conteúdo é convergência de sequências e suas propriedades (em particular a soma).
Passo 2
Para refutar a afirmação, basta encontrar um contraexemplo em que
converge mas
e
não convergem. Considere
Então para todo
vale
de modo que
é a sequência constante
, que converge para
. Contudo,
oscila entre
e
e não tem limite, e o mesmo acontece com
.
Resposta
Falso. Um contraexemplo é
e
, pois
converge, mas
e
não convergem.