Sejam \left\{a_{n}\right\} e \left\{b_{n}\right\} duas sequências de números reais. Verifique se cada um dos itens abaixo é verdadeiro ou falso. Se ele for verdadeiro, justifique. Se ser falso, exiba um contraexemplo.
Se \left\{a_{n}+b_{n}\right\} for convergente, então \left\{a_{n}\right\} e \left\{b_{n}\right\} são convergentes.

Passo 1

O enunciado trata de duas sequências \{a_n\} e \{b_n\} de números reais e pergunta se, a partir da convergência de \{a_n+b_n\}, segue necessariamente que \{a_n\} e \{b_n\} sejam convergentes. O conteúdo é convergência de sequências e suas propriedades (em particular a soma).

Passo 2

Para refutar a afirmação, basta encontrar um contraexemplo em que \{a_n+b_n\} converge mas \{a_n\} e \{b_n\} não convergem. Considere
a_n = (-1)^n, \quad b_n = -(-1)^n.
Então para todo n vale
a_n + b_n = (-1)^n + \bigl[-(-1)^n\bigr] = 0,
de modo que \{a_n+b_n\} é a sequência constante 0, que converge para 0. Contudo, \{a_n\} oscila entre 1 e -1 e não tem limite, e o mesmo acontece com \{b_n\}.

Resposta

Falso. Um contraexemplo é a_n = (-1)^n e b_n = -(-1)^n, pois a_n+b_n=0 converge, mas a_n e b_n não convergem.

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