Sejam \left\{a_{n}\right\} e \left\{b_{n}\right\} duas sequências de números reais. Verifique se cada um dos itens abaixo é verdadeiro ou falso. Se ele for verdadeiro, justifique. Se ser falso, exiba um contraexemplo.
Se \left\{a_{n}\right\} e \left\{a_{n}+b_{n}\right\} são convergentes, então \left\{b_{n}\right\} é convergente.

Passo 1

O enunciado afirma que \{a_n\} e \{a_n+b_n\} são convergentes; precisamos verificar se disso decorre a convergência de \{b_n\}. O conteúdo é propriedade de limites de sequências, em particular a linearidade (soma e diferença).

Passo 2

Como \{a_n\} é convergente, existe A\in\mathbb{R} tal que
\lim_{n\to\infty}a_n = A.
Como \{a_n+b_n\} é convergente, existe B\in\mathbb{R} tal que
\lim_{n\to\infty}(a_n + b_n) = B.

Passo 3

Observe que para todo n vale
b_n = (a_n + b_n) - a_n.
Pelo teorema da diferença de limites, temos
\lim_{n\to\infty}b_n = \lim_{n\to\infty}(a_n + b_n) \;-\;\lim_{n\to\infty}a_n = B - A.
Portanto \{b_n\} converge.

Resposta

Verdadeiro.

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