Sejam v_{1}=\left(x_{1}, y_{1}\right), v_{2}=\left(x_{2}, y_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}.Verifique quais das seguintes funções f: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definem um produto interno:
f\left(v_{1}, v_{2}\right)=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
f\bigl((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\bigr)=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+1
é um produto interno em \mathbb{R}^{2}. Para isso, precisamos checar três propriedades: simetria, bilinearidade e positividade definida.

Passo 2

Simetria: devemos ter
f(v_{1},v_{2})=f(v_{2},v_{1}).
De fato,
f(v_{2},v_{1})=x_{2}x_{1}+y_{2}y_{1}+1=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+1=f(v_{1},v_{2}),
logo a simetria vale.

Passo 3

Bilinearidade (linearidade em cada argumento): por exemplo, testamos a aditividade no primeiro argumento. Se v_{3}=(x_{3},y_{3}), então
f(v_{1}+v_{3},v_{2}) =(x_{1}+x_{3})x_{2}+(y_{1}+y_{3})y_{2}+1 =x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+x_{3}x_{2}+y_{3}y_{2}+1.
Por outro lado,
f(v_{1},v_{2})+f(v_{3},v_{2}) =(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+1)+(x_{3}x_{2}+y_{3}y_{2}+1) =x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+x_{3}x_{2}+y_{3}y_{2}+2.
Como f(v_{1}+v_{3},v_{2})\neq f(v_{1},v_{2})+f(v_{3},v_{2}), a bilinearidade falha.

Passo 4

Positividade definida: em um produto interno precisamos que
f(v,v)\ge0\quad\text{e}\quad f(v,v)=0\iff v=0.
Aqui
f(v,v)=x^{2}+y^{2}+1\ge1>0
para todo v=(x,y), inclusive v=0. Além de nunca atingir zero, ele não satisfaz f(0,0)=0. Portanto falha também a positividade definida.

Resposta

A função f(v_{1},v_{2})=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+1 não define um produto interno em \mathbb{R}^{2}.

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