Sejam
.Verifique quais das seguintes funções
definem um produto interno:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
é um produto interno em
. Para isso, precisamos checar três propriedades: simetria, bilinearidade e positividade definida.
Passo 2
Simetria: devemos ter
De fato,
logo a simetria vale.
Passo 3
Bilinearidade (linearidade em cada argumento): por exemplo, testamos a aditividade no primeiro argumento. Se
, então
Por outro lado,
Como
, a bilinearidade falha.
Passo 4
Positividade definida: em um produto interno precisamos que
Aqui
para todo
, inclusive
. Além de nunca atingir zero, ele não satisfaz
. Portanto falha também a positividade definida.
Resposta
A função
não define um produto interno em
.