Sejam
.Verifique quais das seguintes funções
definem um produto interno:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
define um produto interno em
.
Lembrando que um produto interno deve satisfazer, para todos e todo
:
Lembrando que um produto interno deve satisfazer, para todos
- Simetria:
. - Bilinearidade em cada argumento (linearity em
e em ). - Definição positiva:
para todo .
Passo 2
Verificamos a simetria com um exemplo simples. Seja
e
. Então
enquanto
Como
, a propriedade de simetria falha.
Passo 3
Podemos também ver que a linearidade em cada argumento falha. Ainda com
e
, seja
. Então
porém
Como não ocorre
, a aditividade em
não vale.
Resposta
A função
não satisfaz nem a simetria nem a bilinearidade, logo não define um produto interno em
.