Sejam v_{1}=\left(x_{1}, y_{1}\right), v_{2}=\left(x_{2}, y_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}.Verifique quais das seguintes funções f: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definem um produto interno:
f\left(v_{1}, v_{2}\right)=x_{1}^{2} x_{2}+y_{1} y_{2}^{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f\bigl((x_{1},y_{1}),\,(x_{2},y_{2})\bigr)=x_{1}^{2}x_{2}+y_{1}y_{2}^{2}
define um produto interno em \mathbb{R}^2.
Lembrando que um produto interno deve satisfazer, para todos u,v,w\in\mathbb{R}^2 e todo \alpha\in\mathbb{R}:
  1. Simetria: f(u,v)=f(v,u).
  2. Bilinearidade em cada argumento (linearity em u e em v).
  3. Definição positiva: f(v,v)>0 para todo v\neq(0,0).

Passo 2

Verificamos a simetria com um exemplo simples. Seja u=(1,0) e v=(2,0). Então
f(u,v)=1^{2}\cdot2+0\cdot0^{2}=2,
enquanto
f(v,u)=2^{2}\cdot1+0\cdot0^{2}=4.
Como f(u,v)\neq f(v,u), a propriedade de simetria falha.

Passo 3

Podemos também ver que a linearidade em cada argumento falha. Ainda com u=(1,0) e w=(1,0), seja v=(1,0). Então
f(u+w,v)=f((2,0),(1,0))=2^{2}\cdot1=4,
porém
f(u,v)+f(w,v)=1^{2}\cdot1+1^{2}\cdot1=2.
Como não ocorre f(u+w,v)=f(u,v)+f(w,v), a aditividade em u não vale.

Resposta

A função f não satisfaz nem a simetria nem a bilinearidade, logo não define um produto interno em \mathbb{R}^2.

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